(配套教参)第十章 第4节 概率与统计的综合问题-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第4节　概率与统计的综合问题 考点一　概率、统计与函数综合(综合性) 　(2023·江南十校联考)某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数λ越大，橙子品质越高，售价同时也会越高．某合作社统计了近10年当地的气象相关指数λ，得到了如图所示的频率分布直方图． (1)求a值； (2)从这10年中任意抽取3年研究气象指数λ对橙子品质的影响，求这3年的气象相关指数λ在[0.9，1]之间的个数X的数学期望； (3)根据往年数据知，该合作社的利润y(单位：千元)与每亩地的投入x(单位：千元)和气象相关指数λ的关系为y＝100λ－λ－4x－40，x∈[4，8]，求气象相关指数λ取何值时，能使对于任意的x∈[4，8]，该合作社都不亏损． [解]　(1)由频率分布直方图可知0.1×(1＋1＋a＋5)＝1，解得a＝3. (2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3.10年中气象相关指数λ在[0.9，1]之间的频数为5×0.1×10＝5， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)由题意得y≥0在x∈[4，8]上恒成立，即25λ≥在x∈[4，8]上恒成立． 令g(x)＝＝x＋＋12，x∈[4，8]，则25λ≥g(x)max. g′(x)＝1－，由g′(x)>0，得2<x≤8，所以g(x)在(2，8]上单调递增， 由g′(x)<0，得4≤x<2，所以g(x)在[4，2)上单调递减． 又g(4)＝21，g(8)＝22.5，所以g(x)max＝22.5.所以25λ≥22.5，解得λ≥0.9. 所以当气象相关指数λ∈[0.9，1]时，能使对于任意的x∈[4，8]，该合作社都不亏损． 此类问题涉及的知识较多，解题时正确选取所用的知识，并能对这些知识进行有效融合，把统计图表中的量转化为概率求解中的量．涉及到函数时，明确函数的自变量及意义和解决函数问题所用的方法． 1．小张准备在某市开一家文具店，为经营需要，小张对该市另一家文具店中的某种水笔在某周周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示. 周一 周二 周三 周四 周五 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 y 13 11 7 6 3 (1)根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程； (2)请由(1)所得的线性回归方程预测销售量为18支时，单支售价应定价为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价－日销售量×单支进价)最大，在(1)的前提下应该如何定价？ 参考数据与公式：线性回归方程＝＋x，其中，＝，＝－，xiyi＝67，x＝16.6. 解：(1)因为＝×(1.4＋1.6＋1.8＋2＋2.2)＝1.8，＝×(13＋11＋7＋6＋3)＝8， 所以＝＝＝－12.5， ＝－＝8－(－12.5)×1.8＝30.5， 所以所求线性回归方程为＝－12.5x＋30.5. (2)当y＝18时，18＝－12.5x＋30.5，解得x＝1. 假设日利润为L(x)元，则L(x)＝(x－0.56)(30.5－12.5x)＝－12.5x2＋37.5x－17.08. 由解得0.56<x<2.44. 根据二次函数的性质，可知当x＝1.5时，L(x)取最大值， 所以当单支售价为1元时，销售量为18件．为使日利润最大，单支售价应定为1.5元． 考点二　概率、统计与数列综合(综合性) 　(2022·深圳二模)某几位大学生自主创业创办了一个服务公司，提供A，B两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率为，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为Pn. (1)求P2，并证明数列是等比数列； (2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求EX； (3)经过一段时间的经营，每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A，B产品各多少份？(直接写结论，不必说明理由)． [解]　(1)P2＝×＋×＝，由题意可知Pn＋1＝×Pn＋×(1－Pn)＝－Pn＋，∴Pn＋1－＝－(Pn－)，又P1－＝－＝，∴数列{Pn－}是首项为，公比为－的等比数列． (2)X的可能取值有0，1，2，3，且P(X＝k)＝C()k()3－k，故P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝，P(X＝2)