24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第 二 十 四 章 圆 24.1 圆 的 有 关 性 质 24.1.2 垂直于弦的直径 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它 解决一些简单的计算、证明和作图问题. (重点) 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. (难点) 导入新课 折一折： 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗? 在折的过程中你有何发现? 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它 的 对 称 轴. 讲授新课 圆的对称轴 说一说 (1)圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什 么?你能找到多少条对称轴? (2)你是怎么得出结论的? 用折叠的方法 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直 径所在直线都是圆的对称轴. -----+- 垂径定理及其推论 问题：如图， AB是⊙0的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E. 你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么? 线段： AE=BE 弧 ：AC=BC,AD=BD 理由如下： 把圆沿着直径CD 折叠时， CD 两侧的 两个半圆重合，点A 与点B重合， AE 与 D 4℃重命，G 和 所 个 与 重 合 归纳总结 u垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. u推导格式： ∵ CD是直径， CD⊥AB, ∴AE=BE,AC=Bc,AD=BD. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不 是，请说明为什么? 不是，因为CD 没有过圆心 不是，因为 没有垂真 是 是 归纳总结 ①垂径定理的几个基本图形： 思考探索 如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真 命题吗? ① 过圆心(直径) ;②垂直于弦； ③平分弦； ④ 平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三 个结论吗? ② CD ⊥AB, 垂足为E ④ AC=BC ⑤ AD=BD 证明猜想 ① CD是直径 ③ AE=BE 证明举例 如图， AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD, 使AE=BE. (1)CD⊥AB 吗?为什么? (2)AC 与BC相等吗? AD 与BD相等吗?为什么? (1)连接A0,B0,则A0=B0, 又 AE=BE,OE=OE ∴△AOE ≌△BOE(SSS), ∴∠AEO= ∠BEO, ∵ ∠AE0+ ∠BEO=180° ∴∠AEO= ∠BE0=90°, ∴CD ⊥AB. 重轻定理可腥Ad- D 归纳总结 u垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧. 思考： “不是直径”这个条件能去掉吗?如果不 二、 垂直于弦的直径知识要点 1、 圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中 心是圆心. 2、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧. 3、 垂径定理的推论： 推论1:平分不是直径的弦 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧. 推论2:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所 对的弧. 推论3:平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条于 弦，并且平分这条弦所对的另一条弧. 推论4:经过弧的中点和这条弧所对弦的中点的直线经 过圆心，并且垂直于这条弦，平分这条弦所对的另一条 弧 。 推论5:在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等. 归纳总结 ◆垂径定理及其推论简洁记法(知二推三) ①过圆心(直径) ;②垂直于弦； ③平分弦；④平 分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 只要具备上述五个条件中的任何两个条件，都可以 推出其他三个结论. ◆垂径定理及其推论(知二推三)表达式： D 思考：已知：②0中弦AB//CD, 问：AC 与BD.相等吗?为什么? 归纳：在用圆或等圆中，肃露平行弦所来的瓜相等。 弦a, 弦心距d, 弓形高h, 半径r之间有以下关系： d+h=r A r²=d²+ 2 弓形中重要数量关系 阅读课本第82页例2 C h B a 2 0 a 练一练 平 面内某点到某圆周上最大距离为9,最小距离为3,则 该圆半径为 想一想，再作答： 如图，⊙0的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点， 那么OP长的取值范围 3cm ≤OP ≤5cm 精析拓展 如图，线段AD过圆心0交⊙0于D,C 两点， AE交⊙0于 点B, 且AB=0D. (1)若∠A=25°, 求∠DOE的度数； (2)若OE⊥OD,AC=1, 求AB的长. 例1. 已知，在半径为10cm ⊙0中， OE⊥AB 于E, 0E=6cm,则AB= cm.以AB为弦的弓形高 cm 二 ⊙0的弦 AB=8cm , 直径CE⊥AB于D 求半径OC的长.