3.4.2 相似三角形的性质 教案 2023—2024学年湘教版数学九年级上册

3.4.2 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中三条重要线段的性质 1.理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）之间的关系. 2.对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度. 3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律. 【教学重点】 相似三角形性质的应用. 【教学难点】 相似三角形性质的应用. 一、情境导入，初步认识 1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？ 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备. 二、思考探究，获取新知 1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？ 【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2.如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？ 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′， 又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k. 你能得到什么结论？ 【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 3.如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比. 解：∵△A′B′C′∽△ABC， ∴∠B′=∠B，∠A′B′C′=∠ABC， ∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线， ∴∠B′A′D′=∠BAD， ∴△A′B′D′∽△ABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴ 根据上面的探究，你能得到什么结论？ 【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 4.在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？ 【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P86例9. 2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为________. 分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比， 【答案】 6 3.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. 解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°. 在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4 （cm）. （3）∵△CBD∽△ABC，∴.∴，∴=9（cm）. 4.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长. （1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD， ∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF， ∴△CDF∽△BGF． （2）由（1）知△CDF∽△BGF， 又F是BC的中点，∴BF=FC， ∴△CDF≌△BGF， ∴DF=FG，CD=BG. 又∵EF∥CD，AB∥CD， ∴EF∥AG，得2EF=AB+BG． ∴BG=2EF-AB=2×4-6=2， ∴CD=BG=2cm． 5.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值； （2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长． 分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z．再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解； （2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解. 解：（1）设，那么x=2k，y=3k，z=5k， 由于3x+4z-2y=40， ∴6k+20k-6k=40， ∴k=2， ∴x=4，y=6，z=10． （2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm， 则， ∴C=240，C+560=800， 即它们的周长分别为240cm，800cm． 【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力. 四、师生互动，课