第一章特殊的平行四边形 解答题高频题型培优专题2023-2024学年北师大版九年级上册数学

北师大版九年级上册数学《特殊的平行四边形》解答题 高频题型培优专题 题型一：矩形的综合问题 1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F. (1)求证：△DAF≌△ECF； (2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数． 2.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. 3.如图，用四根木条钉成矩形框 ABCD ，把边 BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性). (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由 AB旋转得到，所以 EB＝AB.我们还可以得到 FC＝________，EF＝________； (2)进一步观察，我们还会发现 EF∥AD，请证明这一结论； (3)已知 BC＝30 cm，DC＝80 cm，若 BE恰好经过原矩形 DC边的中点 H，求 EF与 BC之间的距离． 4. 在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处． (1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF； (2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上； (3)当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长． 题型二：菱形的综合问题 1.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF. (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC. (1)求证：四边形DBCE为菱形； (2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值． 3. 已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE. (1)如图①，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图②，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC. (i)求∠CED的大小； (ii)若AF＝AE，求证：BE＝CF. 4.已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点． (1)如图①，连接CE，CF.CE⊥AB，CF⊥AD. ①求证：CE＝CF； ②若AE＝2，求CE的长； (2)如图②，连接CE，EF.若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长． 题型三：正方形的综合问题 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形． 2.将正方形 ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上． (1)求证：△ADE≌△CDG； (2)若AE＝BE＝2，求BF的长． 3. 已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点． 【建立模型】 (1)如图①，连接BE，DE.求证：BE＝DE； 【模型应用】 (2)如图②，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G. ①判断△FBG的形状并说明理由； ②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长； 【模型迁移】 (3)如图③，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF.求证：GE＝(－1)DE. 4. 已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF 垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E. (1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示．求证：AE＝BF； (2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示．求∠AFQ的度数； (3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式． 题型四：特殊平行四边形的综合问题 1. 【推理能力】如图①,在正方形 ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F. (1)求证:PC=PE; (2)求∠CPE的度数; (3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变.当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由. 2.学习了菱形的判定后,小张同学与小刘同学一起探索折纸中的菱形. 小