专题三 用空间向量研究空间夹角、空间距离讲义-2024届高三数学一轮复习

专题三 用空间向量研究空间夹角、距离问题 重庆市开州中学 谭谦 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算． 题型一：异面直线夹角的向量求法： 【一】【异面直线夹角的向量求法】若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝(其中). 【二】【求异面直线所成角的方法】 计算线面角，一般有如下几种方法： (Ⅰ)【平移法】； (Ⅱ)【向量法】(向量法：包括【法1】基向量法；【法2】空间向量坐标法) 【三】【向量法求异面直线所成角的步骤】 【法1】基向量法求异面直线的夹角的一般步骤 ①找基底． ②用同一组基底表示两异面直线的方向向量． ③利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值． ④结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角． 【法2】空间向量坐标法求异面直线夹角的步骤 ①确定两条异面直线的方向向量． ②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． ③得出两条异面直线所成的角． 【例1】1．（2023深圳外国语学校校考阶段练习）在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 3．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______． 题型二：线面角的向量求法 【一】【线面角的向量求法】如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 【二】【求直线与平面所成角的方法】 计算线面角，一般有如下几种方法： (Ⅰ)【定义法】利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； (Ⅱ)【等体积法】在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； (Ⅲ)【向量法】直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 【三】【求直线与平面所成角的步骤】 建立空间直角坐标系，利用向量法求解的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量； ④计算：设线面角为θ，则(其中).　　　 利用空间向量求线面角的解题步骤 【例2】1．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 2．（2022·四川·模拟预测（文））已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在直四棱柱中，，，，，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）如图，在三棱锥中，平面平面，，为中点且．    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：∥平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由. 6. （2023·全国高三模拟）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点． (1)证明四边形为矩形； (2)若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 7．（2023秋·河南·高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，，点M，N分别在线段，上．    (1)当M，N分别是，的中点时，证明：． (2)当的长度最小时，求直线与平面所成角的大小． 题型三：二面角的平面角的向量求法： 【一】【二面角的平面角的向量求法】设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ 【二】【求两平面夹角的五种方法】 (Ⅰ)