24.1.2垂直于弦的直径课件2023-2024学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 人教版 九年级上册 目标 (1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形. (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理. (3)能利用垂径定理解决相应问题. 观察思考 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 3 你能用数学方法证明刚才的结论吗？ 如图，AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点 ∵在△OCD中，OC=OD, ∴ △OCD是等腰三角形 ∵OE⊥CD ∴CE=ED 即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。 · O C B E A D 过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E 连接OC,OD 4 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 垂径定理及其推论 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 归纳总结 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 7 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 【解题关键】 将实际问题转化为几何问题。 情景思考 9 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 37 18.5 R R-7.23 在RT△ADO中，由勾股定理得 = 解得R≈27.3m 答：略 思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。 情景思考 10 垂直于弦的直径平分弦 1、如图，已知圆O的半径OB=5,OP⊥AB,垂足为P, 且AB=8,则OP=______. 垂直于弦的直径平分弦 变式1：如图，已知圆O的半径OB=10,OP⊥AB,垂足为P, 且OP=6,AP=______ AB=______ 垂直于弦的直径平分弦 变式2：如图，已知OP=5,OP⊥AB,垂足为P, 且AB=24,则圆的半径是多少？ 例题探究 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 14 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R m. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连 结OA.根据垂径定理，则D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m， 即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. ∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3. 例题探究 15 弦a，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系： ★弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r 方法总结 16 例题变式 如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距