4.3.2 对数的运算 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3 对数 4.3.2 对数的运算 版权归济南智学酷所有 学习目标 通过类比指数的运算性质学习并理解对数的运算性质，提升逻辑推理能力； 能够运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明，提升数学运算的核心素养； 掌握对数换底公式，知道用对数换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，会运用换底公式进行化简、计算与证明，培养学生数学应用的意识和科学分析问题的态度. 一、复习引入 之前我们学过： 指数幂运算性质 ： 上一课时中我们学习了： 指数和对数的关系： 底数 指数 幂 对数 真数 底数 满足a＞0，且a≠1，N＞0： 我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数幂运算性质得出相应的对数运算性质吗？ 问题探究 二、新知探究 （1）我们知道，那如何表示，能用不同的对数式表示吗？由此可以得到什么结论？ 设，于是， 由对数的定义得到 ， ， ∴，其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0. 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘. 提问：你能按照以上的方法、根据指数幂的性质推出对数以下 的其它性质吗？ 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么： （2）；（3）. 证明：（2）令，则， ∴. 又由， ∴. 即； （3）， 令，∴.∴. 即. 当n=0时，左式=，右式=0，上式显然成立. ∴（）. 提问：你能按照以上的方法、根据指数幂的性质推出对数以下 的其它性质吗？ 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么： （2）；（3）. （1）； （2）； （3）. 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和； 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差； 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数的n倍. 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？ 所以，当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时， 在上面的式子中，为什么要规定a＞0，且a≠1， M＞0，N＞0？ 由对数的定义知a＞0，且a≠1， 因为负数和0没有对数，所以M＞0，N＞0. （1）； （2）； （3）. 你能根据对数的定义推导出下面的公式吗？ （ a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1 ） 设 ，且 所以，即 ，所以. 换底公式 三、典例精讲 例1 求下列各式的值： （1）；（2）. （1）= = =； （2）=+ =+ =7×2+5×1 =19. 解： 例2 用，表示. 解：=- =+- =2+-. 例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 =4.8+1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和. 由=4.8+1.5M，可得 =4.8+1.5×9.0， =4.8+1.5×8.0. 于是，=- =（4.8+1.5×9.0）-（4.8+1.5×8.0）=1.5. 利用计算工具可得，=≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释 放出来的能量却是后者的约32倍. 1.若=a，=b，则=（ ） A. B. C. D. 解析：= = =，故选B. 四、课堂练习 B 2.计算： （1）·； （2）（+）·（+）. （1） ·=× =× =× =； 解： 2.计算： （1）·； （2）（+）·（+）. （2）（+）·（+） =(+)·(+) =(+)·(+) =× =. 3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75％，若使该物质的剩余量是原来的，估计需经过多少年？（结果保留一位有效数字，≈0.3010，≈0.4771） 解：