4.3.2 对数的运算 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3 对数 4.3.2 对数的运算 学习目标 通过类比指数的运算性质学习并理解对数的运算性质，提升逻辑推理能力； 能够运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明，提升数学运算的核心素养； 掌握对数换底公式，知道用对数换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，会运用换底公式进行化简、计算与证明，培养数学应用意识和科学分析问题的态度. 1.对数的定义： 其中a＞0，且a≠1，N＞0. 一、复习引入 2.对数的基本性质： ， . 二、探究新知 计算：=______，=______，=______. 6 4 2 观察上题中数值之间的关系，你有何猜想？ （1）6=2+4即=+ （2）2=6-4即=- 4=6-2即=- 计算：=______，=______，=______. 6 4 2 （3）6=3×2即=3 4=2×2即=2 在前面的学习中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能根据指数与对数的关系以及指数运算性质，证明以上对数运算性质吗？ （1）； 证明：设，于是， 由对数的定义得到 ， ， ∴； （2）； 证明：令，则， ∴. 又由， ∴. 即； 证明， 令，∴.∴. 即. 当n=0时，左式=，右式=0，上式显然成立. ∴. （3）. 1.利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？ 根据指数与对数的关系，可以得到底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0； 只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立. （1）； （2）； （3）. 2.性质能否进行推广？ 性质（1）可以推广到n个正数的情形，即 loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn （其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3、…、Mn＞0）. （1）； （2）； （3）. 指数与对数对比表 试着填写下表： 名称 运算性质 a---幂的底数 x---幂的指数 N---幂值 a---对数的底 x---以a为底的N的对数 N---真数 ； ； ； ； 你能根据对数的定义推导出下面的公式吗？ （ a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1 ） 设 ，且 所以，即 ，所以. 对数换底公式 三、典例精讲 例1 计算： （1）3+； （2）-++. 解：（1）3+ =+ = =2； （2）-++ =5-4+1+ =. 例2 用，，表示下列各式： （1）； （2）. 解：（1） =- =+-； （2） =- =+- =2+-. 例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 =4.8+1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和. 由=4.8+1.5M，可得 =4.8+1.5×9.0， =4.8+1.5×8.0. 于是，=- =（4.8+1.5×9.0）-（4.8+1.5×8.0）=1.5. 利用计算工具可得，=≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释 放出来的能量却是后者的约32倍. 四、课堂练习 1.已知==15，则+的值是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：由==15，得m=，n=， 所以+=+==1. 故选D. D 2.=（ ） A.-4 B.4 C.10 D.-10 解析：==-4. 故选A. A 3.化简：+·+=______；+=______. 解析：+·+ =(+)+ =+ =1. +=3+4=7. 1 7 4.计算： （1）-； （2）+-. 解：（1）- = = =