精品解析：上海市松江二中2023-2024学年高二上学期10月考数学试题

松江二中2023学年第一学期10月考（高二数学） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 2. 已知向量，，若 ，则实数________． 3. 设等比数列的公比为2，前项和为，若，则__________． 4. 已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是_________. 5. 已知角大小为150°,且异面直线分别与角的两边平行,则异面直线所成角的大小为_________. 6. 在正方体中，二面角的大小是________. 7. 设为正整数，已知点列在函数图象上，若，，则实数k的值为_______. 8. 自平面外一点向平面引垂线段及两条斜线段，它们在平面内的射影长分别为2和12，且这两条斜线与平面所成角相差45°，则垂线段的长为_______. 9. 已知平面内的角，线段是平面的斜线段且，，那么点到平面的距离是_______ 10. 如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为______. 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 12. 空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，是异面直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 在中，角所对的边分别为，若，则为（    ） A 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ） A. ； B. C. ； D. ． 16. 已知正方体，点，，分别是线段，和上动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ②③ C. ①④ D. ②④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，在长方体中，，，点P为棱上一点. （1）试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 18. 已知向量，． （1）若，且，求x的值； （2）设，求函数在上的最大值和最小值． 19. 如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，． （1）求证：． （2）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 20. 如图，在梯形中，，，，，平面且. （1）求直线到平面的距离； （2）求二面角的大小； （3）在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为? 21. 称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②． （1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式； （2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式： （3）记n阶“期待数列”的前k项和为； （ⅰ）求证：． （ⅱ）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江二中2023学年第一学期10月考（高二数学） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数满足（虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出，从而求出模长. 【详解】， 故. 故答案为： 2. 已知向量，，若 ，则实数________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先计算出，进而利用向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】由题意得, ，解得. 故答案为： 3. 设等比数列的公比为2，前项和为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列求和公式，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由等比数列的公比为2，且， 可得，整理得，解得， 所以. 故答案为：. 4. 已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是_