12.3.2角的平分线的判定 学案 2023-2024学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 第2课时　角的平分线的判定 【知识重点】 知识点1 角的平分线的判定 1. 判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 特别提醒 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线). 3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 2. 几何语言 如图， ∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E， 且PD＝PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备； (2)点在角的平分线上(角的内部的) 点到角两边的距离相等. 知识点2 三角形的角平分线（拓展点） 1. 性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心. 2. 几何语言 如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB， AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF. 特别解读 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 【经典例题】 【例1】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明. 【例2】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN的平分线上”进行证明. 【例3】如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20. 过O作OD⊥BC 于点D. 且OD＝3, 求△ABC的面积. 解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等. 【同步练习】 一、选择题 1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对 2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 (　　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB平分线的交点 D．以上均不对 　　 第2题图　 第3题图 第4题图 3．如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 4．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是(　　) A．一定相等 B．当BD＝CD时相等 C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等 5．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等．这个加油站的位置共有 (　　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 　　 第5题图　 第6题图 第7题图 6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠1与∠2的大小关系是(　　) A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定 7．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是26 cm，则△ABC的面积为(　　) A．20 cm2 B．24 cm2 C．26 cm2 D．52 cm2 　　 第8题图　 第9题图 第10题图 9．【唐山市第十二中学校考期末】如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC的度数为(　　) A．120° B．130° C．1