12.3.1角的平分线的性质学案 2023—-2024学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 第1课时　角的平分线的性质 【知识重点】 知识点1 角的平分线的作法 1. 角的平分线的作法 (1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线. (2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线. (3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论. 2. 尺规作图步骤与图示 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径 画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心， 大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC即为所求(如图). 特别解读 1. “大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交； 2.“画射线OC” 不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 知识点2 角的平分线的性质 1. 性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线的性质的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言 如图， ∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴ PD＝PE. 特别提醒 ●角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线) 得到一个结论(线段相等). ●利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 特别提醒 ●证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”. ●证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性. 在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形， 再分别进行证明. 【经典例题】 【例1】如图，已知：∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB. 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可. 【例2】如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN. 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等. 【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB的周长. 解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB的周长转化为线段AB的长. 【例4】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长. 解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解. 【例5】求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 解题秘方：紧扣证明几何命题的一般步骤进行解答. 【同步练习】 一、选择题 1．如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 　　 第1题图　 第3题图 第4题图 2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB.①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为(　　) A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③ 3．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝2，则点P到边OA的距离是( ) A. 1 B. 2 C. D. 4 4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(　　)