江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期10月检测数学试题

金陵中学2024届高三数学十月检测 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列各项为正数，满足，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 4. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，点满足，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 6. 设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为　　 A. B. C. D. 2 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，角为锐角，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ） 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据：①，.②当时，. A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C. 根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 10. 已知双曲线左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 使得为等腰三角形的点有且仅有四个 C. 点到两条渐近线的距离乘积为 D. 已知点，则的最小值为5 11. 已知数列前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 是单调递增数列 D. 12. 已知，，且，则（ ） A B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 展开式的常数项为___________.（用最简分数表示） 14. 已知内有一点，满足，则___________. 15. 已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______. 16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______. 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 在中，，点D在边上，满足. （1）若，求； （2）若，求的面积. 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为正整数，记集合元素个数为，求数列的前50项和. 19. 3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（7）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若三（7）获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望； （2）已知甲､乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率. 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝．平面P