云南省广南县第一中学校2023-2024学年高三上学期周测（5）数学试题

2024届高三数学周测卷（5） 内容：函数、导数 训练时间：60分钟 班级： 姓名： 一．单选题（每题5分，共20分） 1．某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为35岁，方差为6，女职工平均年龄为30岁，方差是1，则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是（    ） A．32.5，3.5 B．33，7 C．33，10 D．32.5，4 2. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个相同的圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的．假设该沙漏每秒钟漏下0.02的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）（结果精确到整数，） A. 817s B. 837s C. 1240s D. 1256s 3. 设，，，则　　 A. B. C. D. 4. 已知正四棱锥的外接球半径，则该正四棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每题5分，共10分） 5. 已知函数，若，则实数t的值不可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 6. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 三．填空题（每题5分，共10分） 7. 已知函数，曲线在点处的切线垂直于直线，则实数的值为_____________． 8. 若直线l与曲线和都相切，则l的方程为______. 三．解答题 9.（12分） 已知函数= （m）是定义在R上的奇函数 （1）求m的值 （2）根据函数单调性的定义证明在R上单调递增 （3）若对，不等式)0恒成立，求实数k的取值范围. 10.（12分） 已知各项均为正数的数列的首项，其前n项和为，且（）． （1）求； （2）设，设数列的前n项和为，证明：． 11. （12分）函数，． （1）当时，证明：； （2）若是的一个极大值点，求实数的取值范围． 2024届高三数学周测卷（5）（一层）答案 1．C【详解】设男职工年龄分别为：，男职工年龄平均数为，方差为，女职工年龄分别为，女职工年龄平均数为，方差为，则，， 即，，， 同理，， 即， ， 该单位全体职工的平均年龄： ， 方差为： 故该单位全体职工的平均年龄和方差分别是33，10. 2.【答案】B【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为, 细沙体积为，该沙漏的一个沙时为(s)，选B 3. 【答案】C【详解】，，，令，得， 当时，为增函数，当时，为减函数， 则最大，而，，， ．故选C． 4. 【答案】C【详解】设正四棱锥的底面中心为点，如下图所示： 设正四棱锥的高为，即，设正方形的边长为， 设正四棱锥的外接球球心为点，则点在直线上， 因为正四棱锥的外接球半径为，则， 由正方形的几何性质可得， 由勾股定理可得，即，整理可得， 所以，，其中， 令，其中，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以，. 故选：C. 5. 【答案】AD【详解】根据题意，，其定义域为， ，则为奇函数， ，则在上为增函数， 由得，则， 则，解得，故BC符合，AD不符合．故选：AD． 6. 【答案】BCD【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误，对于B, 当时，由于，所以，因此，故B正确， 对于C，由于，所以 ，所以，故C正确，对于D, 由于 ，，故D正确， 7.【答案】【详解】因为，则，所以，，因为直线的斜率为，曲线在点处的切线垂直于直线，所以，，解得.故答案为：. 8. 【解析】【详解】由题意，，则，或，设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率， 则直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则当直线l与曲线和都相切，方程为； 同理可求当直线l与曲线和都相切，方程为 故答案为：或. 9. 【小问1详解】是奇函数，∴，， 时，，满足，是奇函数，所以； 【小问2详解】设任意两个实数满足， 则， ∵，∴，，∴，即， 所以在R上为单调递增； 【小问3详解】原不等式化为， ∵是奇函数，∴不等式化为，又是增函数，所以， ∴问题转化，恒成立， 设，， ，即时，，． ，即时，，无解； ，即时，，无解；综上，． 10. 【小问1详解】， 又， 又，数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，故 【小问2详解】当时，， 当时，符合上式．． ， ， ，从而，即 11.【小问1详解】当时，则， 所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在处取得极小