24.1.3弧、弦、圆心角　课件　　2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 1 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 学习目标 新课引入 圆的性质有哪些？ ①圆是轴对称图形，并且有无数条对称轴 什么是垂径定理及它的推论？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知二推三】 圆还有其他性质吗？ 比如中心对称性，这就是我们本节课所要学习的内容 思考1 圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？ 探究 OA=OB A、B两点关于点O对称 圆是中心对称图形 它的对称中心是圆心 新知学习 . O A B 180° 思考2 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？ 探究 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合 圆具有旋转不变性 O α · · 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为 . 注意：一条弧所对的圆心角只有一个 . 例1.下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　) D 圆心角的条件： 1. 顶点在圆心上； 2. 两条边和圆相交. 其中“顶点在圆心上”是圆心角的必备条件. 思考1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠COD时，他们所对的 弧 与 ，弦AB与CD有怎样的数量关系？ O A B C D 思考 我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线OA与OC重合 ∵∠AOB=∠COD, ∴射线OB与OD重合. 又∵OA=OC，OB=OD， ∴点A与点C重合，点B与点D重合. 因此 与 重合，AB与CD重合. 即 = ，AB=CD. 思考2： 如图，⊙O和⊙O′是半径相等的圆，当∠AOB＝∠CO′D时，你发现的等量关系是否依然成立？ O A B · O ′ C D 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 我们发现：在等圆中，如果圆心角∠AOB=∠CO′D，那么 = ， 弦AB=弦CD. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 A B O D C ② 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 类比探究可得 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 关系结构图 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 在同圆或等圆中 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图，如果丢掉了“同圆或等圆”这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. A B O D C 圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用 典例精析 解： ∵ · A O B C D E 例1 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数． ∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°. ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°. 14 A B C O 例2 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ∴ AB=AC， 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明： ∵ = ， ∴△ABC是等腰三角形． 例3.如图，A,B 是⊙O 上两点，∠AOB=120°,C 是AB 的中点. 求证：四边形 OACB 是菱形. 证明：连接 OC, ∵C 是AB 的中点，∠AOB=120°, ∴∠AOC=∠BOC=60°, ∴△AOC,△BOC 都是等边三角形， ∴OA=AC=CB=OB， ∴四边形 OACB 是菱形 弧、弦、圆心角的关系定理及推论 在同圆或等圆中 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 概念：顶点在圆心的角 $$