3.2.1双曲线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2 双曲线 双曲线 及其标准方程 1 双曲线型自然通风冷却塔 法拉利主题公园 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 如图(A) P= {M ||MF1| - |MF2| = 常数 } 如图(B) P= {M ||MF2| - |MF1| = 常数 } 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支 平面内,到两定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数（常数 ）的点的轨迹叫做双曲线，其中 ， 叫做双曲线的焦点， 叫做焦距，记为 . 双曲线的定义 当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹是 ； 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹是 ； 若2a=2c，点M的轨迹是 ； 若2a>2c，点M的轨迹是 . 以F1、F2为端点的两条射线 不存在 双曲线的右支 双曲线的左支 练习 双曲线标准方程的推导 F 2 F 1 M x O y 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系： 2.设点． 3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a 5.化简 1.建系 4.代换 则F1(-c,0),F2(c,0) 设 类比椭圆标准方程的化简过程，化简上式，得 6 6 焦点在x轴的双曲线x2项系数为正. 焦点在y轴的椭圆y2项系数为正. 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 c2-a2=b2 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 7 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 8 题型一　求双曲线方程 练习 根据下列条件，求双曲线的标准方程. 题型二　根据双曲线方程求参数         题型三　双曲线定义的应用 练习　已知F1、F2是双曲线 ＝1的左、右焦点，A是双曲线右支上的动点.M(5,1)，求|AM|＋|AF2|的最小值 分析　画出草图，结合焦点三角形进行考虑. 解 草图如图所示. 由双曲线的定义，知|AM|＋|AF2|＝|AM|＋|AF1|－2a. 由于点M在双曲线右支的右边， 故由图知当点A在线段MF1上时，|AM|＋|AF1|最小， 即|AM|＋|AF2|最小. 例4 如图，在△ABC中，已知|AB|＝ ，且三个内角A，B，C满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. 题型四　与双曲线有关的轨迹问题 解　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示， ∵2sin A＋sin C＝2sin B， ∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). 题型探究 重点突破 课堂小结 返回 1.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号， 当2a＝|F1F2|时表示两条射线. 2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立