3.1.2椭圆的简单几何性质（直线与椭圆的位置关系）讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的简单几何性质 直线和椭圆的位置关系中联立问题 1、代入消元，联立 转换成一元二次方程：； 2、根与系数关系表达式； ，； 3、可以利用 ，计算除， ； 4、利用，计算， ； 5、相交弦的中点问题 利用，， 计算弦中点，即； 6、计算弦长和的面积， 进而计算原点到直线的距离， 7、向量数量积问题 利用,，计算； 8、斜率乘积、斜率之和问题 利用,计算. 9、利用判别式解参数范围 ， 可直接利用结论：（范围、最值问题）； 题型分类练习 题型一：弦长问题 1．（2022秋·天津南开·高二天津市天津中学校考期中）已知椭圆的离心率为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 2．（2022·天津红桥·高二期末）已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程． 题型二：中点弦问题 3．（2022·天津西青·高二期末）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，且椭圆过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点与点不重合，，且满足，若点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围. 4．（2022秋·天津滨海新·高二校考期中）已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点． ①若的面积为，求直线l的方程； ②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点． 题型三：面积问题 5．（2022秋·天津滨海新·高二校考期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆上顶点，点是粚圆上异于顶点的任意一点，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点. （i）若直线过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）在轴的正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． (1)求椭圆的方程； (2)设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程； (3)是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围． 题型四：斜率乘积或求和问题 7．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）如图，椭圆经过点，且离心率为. (I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）， 问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由． 8．（2022秋·天津红桥·高二天津三中校考期中）已知椭圆：，，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值． 题型五：线段最值问题 1．（2022秋·天津南开·高二南开中学校考期中）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l是圆的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求： （i）圆O的方程； （ii）的最大值. 2．（2022秋·天津南开·高二天津二十五中校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值． 题型六：向量问题 1．（2022秋·天津河北·高二统考期中）已知椭圆的长轴长是，短轴长是，过右焦点的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长； (3)若，求直线的方程． 2．（2022秋·天津南开·高二天津市天津中学校考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2. (1)求椭圆的方程； (2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$