期中真题必刷压轴60题（18个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）

期中真题必刷压轴60题（18个考点专练） 一．异面直线及其所成的角（共3小题） 1．（2022秋•甘井子区校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°． （1）求线段AC1的长； （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 2．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC＝． （1）求该圆锥的全面积； （2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 3．（2022秋•海拉尔区校级期中）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点． （Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小． 二．直线与平面所成的角（共8小题） 4．（2022秋•新泰市校级期中）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES． （1）证明：直线SD∥平面ACE； （2）求直线AS与平面ACE所成角的余弦值． 5．（2022秋•南开区校级期中）为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设AB＝BC＝8，AA1＝12，O为底面ABCD的中心，正四棱柱OECF﹣O1E1C1F1与正四棱柱OECF﹣O2E2C2F2分别代表电梯井与电梯厢，设OO2＝2，M为棱FF1的中点，N，K分别为棱AA1，DD1上的点，AN＝8，DK＝4． （I）求证：OM∥平面A1CF1； （Ⅱ）求直线A1O与平面A1CF1所成角的正弦值； （Ⅲ）“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面O2E2C2F2与平面A1B1C1D1重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值． 6．（2022秋•松江区校级期中）如图，长方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点），PN⊥BD于N． （1）若点P是AD1的中点，求线段PN的长度； （2）设AP＝x，将PN表示为x的函数，并写出定义域； （3）当PN最小时，求直线PN与平面ABCD所成角的大小． 7．（2022秋•宝安区校级期中）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 8．（2022秋•台山市校级期中）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG； （Ⅱ）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值． （多选）9．（2022秋•天河区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足，，其中λ，μ∈[0，1]，则（　　） A．当时，三棱锥P﹣EFD的体积为定值 B．当时，四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积是 C．若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为，则 D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得DP⊥平面EFP 10．（2022秋•安康期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC； （Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值． 11．（2022秋•梧州期中）如图，已知长方体AC1中，AB＝BC＝1，BB1＝2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F （1）求证：AC1⊥平面EBD； （2）求点A到