期中真题必刷压轴60题（15个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（人教A版2019必修第一册）

期中真题必刷压轴60题（15个考点专练） 一．元素与集合关系的判断（共7小题） 1．（2022秋•西城区校级期中）设a，b，c为实数，，，记集合S＝{x|y1＝0，x∈R}，T＝{x|y2＝0，x∈R}，若Card（S）、Card（T）分别表示集合S、T的元素个数，则下列结论不可能的是（　　） A．Card（S）＝1，Card（T）＝0 B．Card（S）＝1，Card（T）＝1 C．Card（S）＝2，Card（T）＝2 D．Card（S）＝2，Card（T）＝3 2．（2022秋•闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”； （1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由． 3．（2022秋•宝山区校级期中）对于任意有限集S，T，定义集合S﹣T＝{x|x∈S，x∉T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}． （1）若A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，1}，求集合C和|C|； （2）已知D为有限集，若D⊂（0，+∞），证明：|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1． （3）若|C|＝3，求|A|•|B|的值． 4．（2022秋•虹口区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，⋯，an}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜⋯＜an．若对任意x，y∈A，且x≠y，都有成立，则称集合A具有性质M． （1）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质M； （2）已知集合A具有性质M，求证：； （3）已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由． 5．（2022秋•宝山区校级期中）已知，集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi＝0或1，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义A与B之间的距离为：d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|． （1）对任意的A∈S2，B∈S2，请写出d（A，B）可能的值（不必证明）； （2）设P⊆S4，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为（P），求（P）的最大值； （3）对A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义：A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）．求证：对任意的A，B，C∈Sn，有以下结论成立： ①d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）； ②d（A，B）、d（B，C）、d（A，C）三个数中至少有一个是偶数． 6．（2022秋•门头沟区校级期中）对于正整数集合A{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”． （1）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）； （2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”； （3）当n＝5时，集合A{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”． 7．（2022秋•西城区校级期中）设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A、xy∈A，则称A具有性质P，给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若A具有性质P，且A≠R，则∁RA具有性质P； ③若A1、A2具有性质P，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2具有性质P； ④若A1、A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P． 其中所有真命题的序号是 　 　． 二．集合的包含关系判断及应用（共2小题） 8．（2022秋•和平区校级期中）设集合P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}． （1）若P∪Q＝P，求实数a的取值范围； （2）若P∩Q＝∅，求实数a的取值范围； （3）若P∩Q＝{x|0≤x＜3}，求实数a的取值范围． 9．（2022秋•西城区校级期中）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B