第3章 圆锥曲线与方程 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 专题一　圆锥曲线的定义及应用 1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 2．研究与圆锥曲线有关的两点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决问题． 3．圆锥曲线的定义的应用体现了直观想象、数学运算的学科素养． 【例1】　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 (2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________． 【解析】　(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成 ＝． ∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线． (2)双曲线方程16x2－9y2＝144， 化简为－＝1， 即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25， 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6， 又已知m·n＝64， 在△PF1F2中，由余弦定理知 cos∠F1PF2＝＝ ＝＝＝． 所以∠F1PF2＝60°． 答案：(1)C　(2)60° [跟踪训练] 1．若A(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 解析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|， ∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为3＋＝． 答案： 专题二　圆锥曲线的方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法： (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，方程是已知的或可求，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的学科素养． 【例2】　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D．当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． (1)【解析】　C　法一：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C． 法二：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以 解得 如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1． (2)【解】　法一：由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)． 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1． 法二：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)， 由＝2，得x0＝x，y0＝2y， 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以x＋y＝4(*) 把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1． [跟踪训练] 2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|． (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝ ． 不妨设A