3.3 抛物线-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．3　抛物线 3．3．1　抛物线的标准方程 [素养目标]　1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．　2．会求抛物线的标准方程．　3．培养学生数形结合、数学运算的学科素养． 一、抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 二、抛物线的标准方程 　由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．其图形，焦点，准线如下表： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 理解1　求抛物线的标准方程 【典例1】　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 【解】　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y． (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px和x2＝－2p1y中， 得(－4)2＝2p×3，32＝－2p1×(－4)， 即2p＝，2p1＝． ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝x或x2＝－y． (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15． ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x． 抛物线标准方程的求法 1．定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程． 2．待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值． 1．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5．求抛物线方程． 解：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝． 又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x． 理解2　抛物线定义的应用 【典例2】　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． (1)【解析】　A　由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0， 解得x0＝1，故选A． (2)【解】　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝＝． 抛物线定义的两种应用 1．实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 2．解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 2．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　) A．y2＝－16x B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝32 解析：C　由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等． 所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x．故选C． 3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________． 解析：抛物线的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－．设M(x0，y0)，则有y0＋＝1，解得y0＝． 答案： 1．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　) A．2　　　　　　　　 B．1 C． D． 解析：D　由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为． 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1) 解析：B　抛物线y2＝2px(p