3.2 双曲线-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．2　双曲线 3．2．1　双曲线的标准方程 [素养目标]　1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界中的作用．　2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．　3．会用待定系数法求双曲线方程．　4．培养学生数形结合思想、数学运算的学科素养． 一、双曲线的定义 文字 语言 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 符号 语言 ||PF1|－|PF2||＝正常数(正常数<|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点之间的距离|F1F2| 二、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的 关系 c2＝a2＋b2 理解1　求双曲线的标准方程 【典例1】　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P，Q； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 【解】　(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 由于点P和Q在双曲线上， 所以解得(舍去)． 若焦点在y轴上，设双曲线的方程为 －＝1(a>0，b>0)， 将P，Q两点坐标代入可得 解得 综上，双曲线的标准方程为－＝1． 法二：设双曲线方程为＋＝1(mn<0)． ∵P，Q两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1． (2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1． 法二：∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)， ∴－＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1． 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程． 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)． 解：(1)因为焦点在x轴上， 可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 将点(4，－2)和(2，2)代入方程得 解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为－＝1． (2)法一：椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)， 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得 故所求双曲线的方程为－＝1． 法二：由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为－＝1(27<λ<36)． ∵双曲线过点(－2，)， ∴－＝1， 解得λ＝31或λ＝18(舍去)， 故所求双曲线的方程为－＝1． 理解2　方程表示双曲线的条件 【典例2】　给出曲线方程＋＝1． (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 【解】　(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0， 解得k>1或k<－4， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)． (2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)． 方程表示双曲线的条件 1．对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． 2．对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________． 解析：由题意知(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，解得－1<k<1． 答案：(－1，1) 3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝________． 解析：由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a>0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2， 所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值为1． 答案：1 理解3　双曲线的定义及应用 【典例3】　已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的