2.1 直线的斜率-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．1　直线的斜率 [素养目标]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．　2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会用斜率公式求直线的斜率．　3．培养数学抽象、逻辑推理和数学运算的学科素养． 一、倾斜角的相关概念 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． 2．特例 当直线l与α轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0． 3．倾斜角的范围：0≤α＜π． 理解1　直线的倾斜角 【典例1】　(1)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45°　　　　　 B．α－135° C．135°－α D．α－45° 【解析】　AB．根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知： 当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°． (2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【解析】　D　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α． 求直线倾斜角的方法及注意点 1．方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 2．两点注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为． (2)注意直线倾斜角的取值范围是0≤α＜π． 1．(多选题)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋60° B．α＋120° C．α－60° D．120°－α 解析：BC．直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α＜60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α． 二、直线的斜率 1．直线的斜率 一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tan_α． 2．过两点的直线的斜率公式 经过不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝tan α＝． 理解2　直线的斜率 【典例2】　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α． (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10)． 【解】　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1， 又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°． (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°． (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°． 直线斜率的计算方法 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． 2．①判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． ②若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)． (1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ (2)当m为何值时，直线l的斜率是1? 解：(1)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1． (2)由题意知m＋1≠2m，即m≠1，直线l的斜率k＝＝1，解得m＝． 理解3　直线的倾斜角和斜率的综合 【典例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【解】　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1． (1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°． 1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 2．直线的倾斜角和斜率的