1.4 数学归纳法-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

*1．4　数学归纳法 [素养目标]　1．通过具体问题，了解数学归纳法的推理步骤及作用．　2．了解由特殊到一般的归纳思维过程．　3．培养逻辑推理的学科素养． 数学归纳法的定义与步骤： 1．一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(奠基)证明当n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(递推)以“当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 理解1　用数学归纳法证明等式 【典例1】　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)． 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2， 右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，那么，当n＝k＋1时， 左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)· ＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边． ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，原等式均成立． 用数学归纳法证明等式的注意点 1．用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． 2．由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． 3．不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法． 1．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立． (2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋－＝＋＋…＋＋＋＝右边． 故当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对一切n∈N＋都成立． 理解2　用数学归纳法证明不等式 【典例2】　试用数学归纳法证明：＋＋…＋＞－． 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，不等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，原不等式成立， 即＋＋…＋＞－， 当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＞－＋， 因为－＋－＝－＋＝＞0， 所以－＋＞－． 即＋＋…＋＋＞－， 所以，当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． 2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”． 2．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2，所以，n＝1时，不等式成立； (2)假设n＝k(k∈N＋)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时， ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1 ＝1＋－(1＋) ＝－ ＝>0， 所以，当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)和(2)可知，不等式an<an＋1(n∈N＋)成立． 理解3　归纳、猜想、证明 【典例3】　设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋． (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 【解】　(1)因为a1＝1， 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝； a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝． 猜想an＝(n∈N＋)． (2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确． ②假设n＝k(k∈N＋)时猜想正确， 即ak＝，则ak＋1＝f(ak) ＝＝ ＝＝， 这说明，当n＝k＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n∈N＋，都有an＝． 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证