1.3 等比数列-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．3　等比数列 1．3．1　等比数列及其通项公式 [素养目标]　1．理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列．　2．掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用公式进行相关计算．　3．掌握等比中项的定义，并能解决相应问题．　4．培养数学抽象、数学运算的学科素养． 一、等比数列的定义及通项公式 1．等比数列的定义 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 数学符号 在数列{an}中，如果＝q(n≥2，n∈N＋)(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 2．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 理解1　等比数列的通项公式及运用 【典例1】　在等比数列{an}中， (1)若a5＝8，a7＝2，an>0，求an； (2)若a1＝，an＝，q＝，求n； (3)若an＋4＝a4，求q． 【解】　(1)由已知得得 ∵an>0，∴ ∴an＝128×＝． (2)由an＝a1·qn－1，得＝， 即＝，得n＝4． (3)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn， 又an＋4＝a4，∴qn＝1． ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1． a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q． 1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n． 解：(1)因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2． (2)法一：因为 由得q＝，从而a1＝32． 又an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6． 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝． 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32． 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6． 理解2　等比数列的判定与证明 【典例2】　(1)判断下列数列是否为等比数列． ①1，3，32，33，…，3n－1，…； ②－1，1，2，4，8，…； ③a1，a2，a3，…，an，…． 【解】　①记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，… ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3． ②记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． ③当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)． ①求a1，a2； ②求证：数列{an}是等比数列． 【解】　①由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－． 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝． ②证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－．又a1＝－， 所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 1．定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． 2．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列． 3．构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可． 2．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an．设bn＝． (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{bn}的通项公式． 解：(1)由已知条件可得an＋1＝an． 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4． 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12． 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4． (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得b1＝1，公比q＝2， ∴bn＝1×2n－1＝2n－1． 二、等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则称G为a与b的等比中项． 理解3　等比中项及其应用 【典例3】　(1)已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　C　因为1，a1，a2，9是等差数列，所以