第3章 概率 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 专题一　求复杂事件的概率 解决概率问题的步骤 第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种． 第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式． 第三步，利用条件概率公式求解： (1)条件概率定义：P(B|A)＝. (2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝. 【例1】　已知某超市的玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1，0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求顾客买下该箱玻璃杯的概率． 【解】　记事件B为顾客买下该箱玻璃杯，事件Ai为取出的一箱中有i只残次品．i＝0，1，2. 则P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1， P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝， 由全概率公式可得，P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×≈0.94. 即顾客买下该箱玻璃杯的概率约为0.94. [跟踪训练] 1．将外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个，其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． 解：设事件A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}， 事件B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， 事件R＝{第二次取出的球是红球}， 事件W＝{第二次取出的球是白球}， 则容易求得P(A)＝，P(B)＝， P(R|A)＝，P(W|A)＝， P(R|B)＝，P(W|B)＝. 事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得 P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB) ＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝×＋×＝. 专题二　离散型随机变量的数字特征与决策 1．求离散型随机变量的期望与方差的步骤 2．数学期望在决策型问题中的应用 数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平．随着社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活中和经济活动中的运用越来越广，如个人的采购、投资风险分析、企业的生产和经营方案等，经常需要对事物的进展情况进行决策，以便用最有利的方式来采取行动．人们常把数学期望作为决策参考的重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论． 【例2】　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面的柱状图(如图所示)． 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需要更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？ 【解】　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能为8，9，10，11，相应的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22. P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n＝19时，