3.3 正态分布-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3.3　正态分布 [素养目标]　1.了解正态分布与标准正态分布的概念.2.了解概率密度函数，理解正态曲线的性质.3.会利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题.4.会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题.5.培养数学抽象、直观想象、数学建模、数学运算的学科素养． 一、正态分布 1．概率密度曲线 随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线． 2．正态分布 函数p(x)＝e－(－∞<x<＋∞)，其中μ∈R，σ>0为参数．称p(x)为概率密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率密度函数为p(x)，则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为．特别地，当数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x)＝e－，x∈R，随机变量X服从标准正态分布，简记为X～N(0，1)． 理解1　正态曲线及性质 【典例1】　(1)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 【解析】　由题中图象可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称， ∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确； ∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； ∵乙曲线的峰值为1.99，即＝1.99， ∴σ2≠1.99，故D错误． 【答案】　D (2)如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 【解】　从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为， 所以μ＝20，＝，所以σ＝. 于是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 正态密度函数解析式的求法 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式． 1．若一个正态分布的正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.求该正态分布的正态密度函数的解析式． 解：由于该正态分布的正态密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0. 由于＝，得σ＝4， 故该正态分布的正态密度函数的解析式是 f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)． 二、正态曲线的特点 1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 2．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 3．曲线在x＝μ处达到最大值； 4．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 　 图①　　　　　　　　图② 5．σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡，如图②. 6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1． 三、正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则 1．三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%； P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%； P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈99.73%． 2．3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值几乎不可能发生，它在产品检测、质量检验中起着重要的作用． 理解2　正态分布的概率 【典例2】　设X～N(1，4)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(－1＜X≤1)； (3)P(3＜X≤5)； (4)P(X≥5)． 【解】　易知X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)由该正态曲线关于直线x＝1对称，结合图象(图略)可知P(－1<X≤1)＝P(－1<X≤3)＝×0.682 7≈0.341 4. (3)P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)， ∴P(3<X≤5)＝[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ)<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. (4)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∴P(X≥5)＝[1－P(－3<X<5)]＝[1－P(1－4<X<1＋4)]＝[1－P(μ－2