3.2 离散型随机变量及其分布列-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．2　离散型随机变量及其分布列 3．2.1　离散型随机变量及其分布 [素养目标]　1.通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质.3.培养数学建模、数学运算的学科素养． 一、离散型随机变量 1．随机变量 如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量．随机变量常用X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量 如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量． 理解1　随机变量的概念 【典例1】　判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两枚骰子，出现的点数之和； (3)体积为8 cm3的正方体的棱长． 【解】　(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量． (2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量． (3)体积为8 cm3的正方体的棱长是2 cm，为定值，不是随机变量． 判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即 (1)试验在相同条件下是否可重复进行． (2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个． (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某天某公司客服接到咨询电话的个数； (2)标准大气压下，水沸腾的温度； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次． 解：(1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量． (2)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量． (3)获得的奖次可能是一，二，三，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量． 理解2　离散型随机变量的判定 【典例2】　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额Y； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 【解】　(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量． (2)某超市5月份每天销售额Y可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举，不是离散型随机变量． 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法： (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 2．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (2)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度． 解：(1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即其结果可以一一列出，是离散型随机变量． (2)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． 理解3　随机变量的可能取值及试验结果 【典例3】　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X； (2)一个袋中装有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. 【解】　 (1)X＝0，1，2，3，{X＝0}表示取的5个球全是红球； {X＝1}表示取1个白球，4个红球； {X＝2}表示取2个白球，3个红球； {X＝3}表示取3个白球，2个红球． (2)X＝3，4，5，{X＝3}表示取出的球编号为1，2，3； {X＝4}表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4. {X＝5}表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5. 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 (1)关键点：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些