2.3 空间向量基本定理及坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．3　空间向量基本定理及坐标表示 2．3.1　空间向量的分解与坐标表示 [素养目标]　1.掌握共面向量的定义和空间向量基本定理.2.会求向量在空间直角坐标系下的坐标.3.发展逻辑推理、数学抽象、数学运算的学科素养． 一、共面向量 1．定义：能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 2．如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2． 理解1　向量共面问题 【典例1】　如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1. 求证：，a，c共面． 【证明】　因为＝k＝kb＋kc， ＝＋＝a＋k ＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb， 所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 由共面向量定理可知，，a，c共面． 解决向量共面问题的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 1．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与点A，B，M共面？ (1)2＋3＝6－； (2)＝4－－. 解：法一：(1)原式可化为－＝2(－)＋3(－)＝2＋3，即＝2＋3. 所以点P与点A，B，M一定共面． (2)原式可化为＝2＋(－)＋(－)＝2＋＋. 由向量共面的充要条件的推论得：点P与点A，B，M共面的充要条件可写成＝＋x＋y的形式，而此题推不出这一形式，故点P与点A，B，M不共面． 法二：(1)原式可变形为＝＋＋， ∵＋＋＝1，∴点P与点A，B，M共面． (2)∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， ∴点P与点A，B，M不共面． 二、空间向量基本定理 1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1＋ye2＋ze3.上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即 若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′． 2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标． 理解2　空间向量基本定理的应用 【典例2】　如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 【证明】　如图，连接ON， 设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设＝a，＝b， ＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝[＋(＋)] ＝(a＋b＋c)，＝c－b. ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥，即OG⊥BC. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)选择空间的一组基表示未知向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 2．(2023·山西大学附属中学月考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋(＋)＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. 三、空间向量的直角坐标表示 1．标准正交基 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，把这组基称为标准正交基． 2．向量的坐标 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p＝xi＋yj＋zk，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p＝(x，y，z)． 3．一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标． 4．向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标． 理解3　空间点、向量的坐标表示 【典例3】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1