2.1.2 空间两点间的距离-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．1　空间直角坐标系 2．1.1　建立空间直角坐标系 2．1.2　空间两点间的距离 [素养目标]　1.会建立恰当的空间直角坐标系，能写出空间直角坐标系中各点的坐标.2.掌握空间两点间的距离公式，并会利用公式求空间两点间的距离.3.发展直观想象、数学抽象、数学运算的学科素养． 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz．在空间直角坐标系O-xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面． 2．画法：画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． 3．右手系：建立空间直角坐标系时，一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系．(如图) 4．利用空间直角坐标系确定点的位置 (1)空间直角坐标系中，任意一点P的位置可由有序实数组(x，y，z)来确定，点P与有序实数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系． 此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． (2)在空间直角坐标系中，原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z)． 理解1　确定空间中任意一点的坐标 【典例1】　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． 【解】　(1)由已知，得A(0，0，0)，由于点B在x轴的正半轴上，|AB|＝4，故B(4，0，0)． 同理可得，D(0，3，0)，A1(0，0，5)． 由于点C在坐标平面xOy内，BC⊥AB，CD⊥AD，故C(4，3，0)． 同理可得，B1(4，0，5)，D1(0，3，5)． 与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标不同，所以|CC1|＝|AA1|＝5，则C1(4，3，5)． (2)由(1)知，C(4，3，0)，C1(4，3，5)， 则C1C的中点为(，，)，即N(4，3，)． 1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点P的坐标的方法 一般先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N，其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标． 1．已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标． 解：因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12)， A(，－，0)，B(，，0)， C(－，，0)，D(－，－，0)． 理解2　空间中点的对称问题 【典例2】　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 【解】　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12)． 空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数． 2．已知点A(－3