1.2 导数的运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1.2　导数的运算 1．2.1　几个基本函数的导数 [素养目标]　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.3.培养逻辑推理、数学运算的学科素养． 一、几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 理解1　利用导数公式求切线方程 【典例1】　已知曲线y＝，求曲线在点P(4，2)处的切线方程． 【解】　由y＝，得y′＝ ， ∴切线的斜率k＝. 则所求切线方程为y－2＝(x－4)， 即x－4y＋4＝0. 解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值． 1．在本例中，求曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程． 解：设切点为(x0，y0)， 由y＝，得y′＝. ∵切线与y＝2x－4平行， ∴＝2，∴x0＝，∴y0＝. 则所求切线方程为y－＝2(x－)， 即16x－8y＋1＝0. 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝tan x f′(x)＝ 理解2　利用导数公式求函数的导数 【典例2】　求下列函数的导数． (1)y＝x9；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝5x；(5)y＝log3x；(6)y＝. 【解】　(1)y′＝(x9)′＝9x8. (2)y′＝()′＝(x－5)′＝－5x－6＝－. (3)y′＝()′＝(x)′＝x－. (4)y′＝(5x)′＝5xln 5. (5)y′＝(log3x)′＝. (6)∵y＝＝tan x， ∴y′＝(tan x)′＝. 1．分清所给函数是幂函数、指数函数还是对数函数，然后选择相应的模型，代入求解． 2．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． 2．求下列函数的导数． (1)y＝x8；(2)y＝；(3)y＝2x；(4)y＝log2x；(5)y＝sin x；(6)y＝cos2－sin2. 解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7. (2)y′＝()′＝(x)′＝x＝x－. (3)y′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y′＝(log2x)′＝. (5)y′＝(sin x)′＝cos x. (6)∵y＝cos2－sin2＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 理解3　导数公式的简单应用 【典例3】　(1)质点的运动方程是s＝sin t，则质点在t＝时的速度为________；质点运动的加速度为________． 【解析】　v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v()＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. ∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 【答案】　　－sin t (2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 【解】　由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)． ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．导数的几何意义，即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率之间的关系解决问题． 3．导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析． 3．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度． 解：∵s′＝()′＝(t)′＝t－， ∴s′(8)＝×8－＝. ∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s. 1．下列导数运算正确的是(　　) A．()