3.3 正态分布(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．3　正态分布 1 理解应用 课时训练 交流评价 [素养目标]　1.了解正态分布与标准正态分布的概念.2.了解概率密度函数，理解正态曲线的性质.3.会利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题.4.会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题.5.培养数学抽象、直观想象、数学建模、数学运算的学科素养． 1 理解应用 课时训练 交流评价 一、正态分布 1．概率密度曲线 随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的______，我们把这条曲线称为X的__________________． 理解应用 概率 概率密度曲线 1 理解应用 课时训练 交流评价 正态曲线 标准正态分布 X～N(0，1) 1 理解应用 课时训练 交流评价 A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 理解 D 1 理解应用 课时训练 交流评价 1 理解应用 课时训练 交流评价 (2)如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 1 理解应用 课时训练 交流评价 1 理解应用 课时训练 交流评价 思维·升华 1 理解应用 课时训练 交流评价 应用 1 理解应用 课时训练 交流评价 上方 不相交 x＝μ x＝μ x轴 1 理解应用 课时训练 交流评价 图①　　　　　　　　图② 5．σ越大，正态曲线越______，σ越小，正态曲线越______，如图②. 6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于___． 　 扁平 尖陡 1 1 理解应用 课时训练 交流评价 三、正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则 1．三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)≈__________________； P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈__________________； P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈__________________． 2．3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取________________中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值几乎不可能发生，它在产品检测、质量检验中起着重要的作用． 68.27%　 95.45%　 99.73% (μ－3σ，μ＋3σ) 1 理解应用 课时训练 交流评价 理解2　正态分布的概率 【典例2】　设X～N(1，4)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(－1＜X≤1)； (3)P(3＜X≤5)； (4)P(X≥5)． 理解 1 理解应用 课时训练 交流评价 1 理解应用 课时训练 交流评价 1 理解应用 课时训练 交流评价 1 理解应用 课时训练 交流评价 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ－σ＜X＜μ＋σ)，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)． 思维·升华 1 理解应用 课时训练 交流评价 2．若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解析：C　由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≥1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950. 应用 C 1 理解应用 课时训练 交流评价 理解3　正态分布的实际应用 【典例3】　在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90，100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70，110]上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100]间的考生大约有多少人？ 1 理解应用 课时训练 交流评价 【解】　因为X～N(90，100)， 所以μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.9545，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110， 于是考试成绩X位于区间(70，110]