第1章 集合与逻辑 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 1．集合的综合运算 ►【例1】　(1)(数学运算素养)已知R为全集，A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|－2<x≤3}，求(∁R A)∩B． 【解】　∵A＝{x|－1≤x<3}， ∴∁R A＝{x|x<－1或x≥3}． 又∵B＝{x|－2<x≤3}， ∴(∁RA)∩B＝{x|－2<x<－1或x＝3}． (2)(逻辑推理素养)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＋px＋4＝0}，求∁UA． 【解】　由已知得A⊆U．当A＝∅时，方程无实数解，此时Δ＝p2－16<0，－4<p<4，所以∁UA＝∁U∅＝U． 当A≠∅时，设方程x2＋px＋4＝0的两根分别是x1，x2，x1∈U，x2∈U． 因为x1x2＝4，所以只可能有以下情形： ①当x1＝x2＝2时，p＝－4， 此时A＝{2}，∁UA＝{1，3，4，5}； ②当x1＝1，x2＝4时，p＝－5， 此时A＝{1，4}，∁UA＝{2，3，5}． 综上所述，当－4<p<4时，∁UA＝{1，2，3，4，5}； 当p＝－4时，∁UA＝{1，3，4，5}； 当p＝－5时，∁UA＝{2，3，5}． 2．抽象集合 ►【例2】　(直观想象素养)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝(　　) A．M　　　 B．N　　　　 C．I　　　 D．∅ 【解析】　选A　由N∩(∁IM)＝∅知N与∁I M没有公共元素，依据题意画出Venn图，如图所示，可得N⊆M，所以M∪N＝M． 3．集合的新定义 ►【例3】　(1)(数学运算，数学抽象)设集合P，Q为两个非空实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 【解析】　选B　∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}． ∴当a＝0时，a＋b的值为1，2，6； 当a＝2时，a＋b的值为3，4，8； 当a＝5时，a＋b的值为6，7，11， ∴P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，故P＋Q中有8个元素． 故选B． (2)(直观想象，数学抽象)设集合M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 【解析】　选C　由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合(如图所示)，且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少． 由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝． (3)(逻辑推理，数学运算)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是(　　) A．27 B．26 C．9 D．8 【解析】　选A　本题定义了集合A的一种分拆的概念，实际上还是集合的并集的应用，我们只需把每一种分拆的可能情况都考虑到，找出规律即可求得集合A的不同分拆的种数．当A1为空集时，A2只有一种可能，即A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆，故集合A的不同分拆种数为1＋6＋12＋8＝27．故选A． 4．生活中的逻辑 ►【例4】　(逻辑推理)住同一房间的四名女生A，B，C，D，在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不一样的事情，有以下五个命题： (1)A不在修剪指甲，也不在看书； (2)B不在听音乐，也不在修剪指甲； (3)若C在修剪指甲，则A在听音乐； (4)D不在看书，也不在修剪指甲； (5)C不在看书，也不在听音乐. 若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？ 【解】　由以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下： A B C D 修剪指甲 不在做 不在做 不在做 看书 不在做 不在做 不在做 梳头发 听音乐 不在做 不在做 由表格看出，C在修剪指甲，B在看书．又由命题(3)可知A在听音乐，最后我们推出D在梳头发． ►【例5】　(逻辑推理)运动会上，甲、乙、丙三