4.5 函数模型及其应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

4．5　函数模型及其应用 4．5．1　几种函数增长快慢的比较 [素养目标]　1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数及一次函数的增长差异．　2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 一、指数函数y＝ax(a>1)与对数函数y＝logax(a>1)增长的快慢 指数函数y＝ax(a>1)的底数a越大，y增长越快． 对数函数y＝logax(a>1)的底数a越小，y增长越快． 二、幂函数y＝xα(α>1)与幂函数y＝xα(0<α<1)增长的快慢 幂函数y＝xα(α>1)与幂函数y＝xα(0<α<1)都是α越大，增长越快． 三、指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长差异 即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx＋b(k>0)的增长速度． 四、对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx＋b(k>0)的增长差异 一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx＋b(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx＋b(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx＋b，但由于logax的增长慢于kx＋b的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx＋b． 理解1　函数增长速度的差异 ►【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2021x　　　　　 B．y＝2021x C．y＝log2021x D．y＝2021 【答案】　B (2)在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表． x 0．50 0．99 2．01 3．98 y －1．01 0．01 0．98 2．00 则x，y最合适的函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 【答案】　D (3)下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是 ． ①y＝3×1．04x； ②y＝20＋x10； ③y＝40＋lg(x＋1)； ④y＝80． 【解析】　结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①． 【答案】　① 增长速度的比较，当自变量的差值相同时(x2－x1为定值),函数值的差值(y2－y1)越大，增长速度越大． 1．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x 解析：选A　在同一坐标系下画出y＝2x，y＝x，y＝lg x的图象． 由图象可知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，故选A． 2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x．如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体对应的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析：选D　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D． 理解2　函数增长速度的比较 ►【例2】　(1)(多选题)如图，能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(　　) A．x>2 B．x>4 C．0<x<2 D．2<x<4 【答案】　BC (2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0．5x－1的图象如图所示． ①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数． ②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小． 【解】　①C1对应的函数为g(x)＝0．5x－1， C2对应的函数为f(x)＝ln x． ②当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)． 综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)． 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． 3．在同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x在(0，＋∞)上的图象，并比较x＋5与2x的大小． 解：函数y＝x＋5与y＝2x的图象如图所示； 当0<x<3时，x＋5>2x，当x＝3时，x＋5