3.1 函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．1　函数 3．1．1　对函数概念的再认识 [素养目标]　1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，结合对应关系在刻画函数概念中的作用．　2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．　3．了解函数相等的定义． 一、函数的定义 一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，记作y＝f(x)(x∈A，y∈B)． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． 理解1　函数关系的判断 ►【例1】　(1)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把x对应到3x＋1； ②g：把x对应到|x|＋1； ③h：把x对应到； ④r：把x对应到． 【解】　①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任意x∈R，3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x＝－1时，有3x＋1＝－2与之对应． 同理，②也是实数集R上的一个函数． ③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在． ④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在． (2)已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　) A．f：x→y＝x　　　 B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 【答案】　D 1．两角度判断所给对应是否为函数 (1)先观察两个数集A，B是否非空． (2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，也就是说不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x． 2．根据图形判断对应是否为函数的步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示： 1．下列对应中是从集合A到集合B的函数的序号为 ． (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0． 解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． (3)集合A中的负整数没有算术平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中的任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 答案：(2)(4) 2．(多选题)下列图形中，可以表示y是x的函数的是(　　) 解析：选ABC．任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系． 二、函数的三要素与函数相等 1．由函数的定义知函数有三个要素：定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A}． 2．函数相等：两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． 理解2　函数的求值问题 ►【例2】　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))； (2)求g(f(x))． 【解】　(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20． 因为g(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)， g(f(2))＝g(10)＝＝． (2)g(f(x))＝＝＝． 函数求值的方法及关注点 (1)方法： ①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 3．已知函数f(x)＝x2＋x－1． (1)求f(2)，f； (2)若f(x)＝5，求x． 解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f＝＋－1＝． (2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5， ∴x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3． 理解3　函数的定义域、值域 ►【例3】　求下列