2.3 一元二次不等式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．3．2　一元二次不等式的应用 [素养目标]　1．会解简单的分式不等式．　2．研究一元二次不等式恒成立问题．　3．解决实际问题． 一、分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 理解1　分式不等式的解法 ►【例1】　解不等式： (1)<0；(2)≥0；(3)>1． 【解】　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， 解得－1<x<． 故原不等式的解集为． (2)原不等式可化为≤0， 等价于 解得 即－<x≤1． 故原不等式的解集为． (3)原不等式可化为－1>0， 即>0，即>0，解得x<－2． 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可以． 1．不等式：>1的解集为 ． 解析：∵x2－x＋1>0恒成立， ∴x＋1>x2－x＋1，∴x2－2x<0，0<x<2． 答案：{x|0<x<2} 二、一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立中的常用结论 结论1：若f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或或 若在{x|x≤m}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或 若在{x|x≥n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或 结论2：f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒ 理解2　在R上恒成立 ►【例2】　若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0]　　　　　　　 B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0) 【解析】　选A　当k＝0时，－<0恒成立． 当∴－3<k<0． 综上，－3<k≤0，故选A． 【探究】　若把本例条件改为“不等式2kx2＋kx＋>0对一切实数x都成立”，试求k的取值范围． 解：　当k＝0时，不等式为>0，显然成立； 当k≠0时，则有， 解得0<k<3．所以0≤k<3． 理解3　在给定区间上恒成立 ►【例3】　设二次函数y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，y≥2恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【解析】　要使y≥2在－2≤x≤2时恒成立，即当－2≤x≤2时，y的最小值ymin≥2． ①如图(1)所示，若对称轴即直线x＝－在直线x＝－2的左侧，则当－2≤x≤2时，f(x)随x的增大而增大， 此时，问题等价于即无解． ②如图(2)所示，若对称轴即直线x＝－在直线x＝－2非左侧且在直线x＝2非右侧， 则当－2≤x≤2时，y随x的增大先减后增， 于是问题等价于 即 ∴－4≤a≤2－2． ③如图(3)所示，若对称轴即直线x＝－在直线x＝2的右侧，则当－2≤x≤2时，y随x的增大而减小， 于是问题等价于即 ∴－5≤a<－4． 综上所述，实数a的取值范围是{a|－5≤a≤2－2}． 【答案】　{a|－5≤a≤2－2} 一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题． ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． ②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0． 2．若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0成立，则a的取值范围是 ． 解析：要使x2－ax－3<0在[－3，－1]上恒成立， 则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足： 即 解得a<－2． 故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3<0在x∈[－3，－1]时恒成立． 答案：(－∞，－2) 理解4　一元二次不等式的实际应用 ►【例4】　2022年，某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.2023年初，某地方政府为响应中央一号文件精神，发展壮大乡村产业，拓宽农民增收渠道，为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【解】　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋