2.1 相等关系与不等关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．1　相等关系与不等关系 2．1．1　等式与不等式 [素养目标]　1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．　2．了解不等式的性质，能运用不等式的性质证明简单不等式及解不等式． 一、不等关系与不等式 1．现实世界中，既有大量的相等关系，又存在着大量的不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题． 理解1　用不等式或不等式组表示不等关系 ►【例1】　(1)李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．30x－60≥400　　　　 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400 【解析】　选B　设x月后所存的钱数为y元， 则y＝30x＋60，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400． (2)某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【解】　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆． 由题意得即 1.将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系．常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下： 2.在列不等式组时，需要设出变量，并且要根据每个变量的实际意义确定变量的取值范围，最后一并写在不等式组内． 3.在实际问题中，要挖掘其隐含条件，并且注意问题的实际意义． 二、实数a、b大小比较的基本事实 (1)a>b⇔a－b>0， (2)a＝b⇔a－b＝0， (3)a<b⇔a－b<0． 理解2　作差法比较大小 ►【例2】　(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R． (2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 【解】　(1)∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1 ＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1) ＝(x2－1)2(x2＋1)≥0， ∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2， 当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2． 综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号． (2)5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝x2＋y2－2xy＋4x2－4x＋1＋z2－2z＋1 ＝(x－y)2＋(2x－1)2＋(z－1)2 ∵(x－y)2≥0，(2x－1)2≥0，(z－1)2≥0， 当且仅当z＝1，x＝＝y时，取“＝”， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2． 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差式的符号． 变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论． 1．已知M＝x2－3x＋7，N＝－x2＋x＋1，则(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M，N的大小与x的取值有关 解析：选B　M－N＝x2－3x＋7＋x2－x－1＝2(x2－2x＋3)＝2(x－1)2＋4>0，故M>N． 2．(多选题)下列能确定M>N的是(　　) A．M＝x2＋3　N＝2x B．M＝x2＋　N＝x C．M＝　N＝ D．a，b为正数且a≠b，M＝a3＋b3　N＝a2b＋ab2 解析：选AD　对于A，M－N＝(x－1)2＋2>0，∴M>N； 对于B，M－N＝≥0，∴M≥N； 对于C，M－N＝－＝<0，∴M<N； 对于D，M－N＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0， ∴M>N． 三、等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝． 2．不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 可开 方性 a>b>0⇒>(n∈N＋) 同正 6 倒数 性质 ⇒< a与b同号 ⇒> a>0且b<0 3．不等式性质的推论 推论 名称 推论内容 注意 1 移项法则 a