1.2 常用逻辑用语-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．2　常用逻辑用语 1．2．1　命题 [素养目标]　1．理解命题的概念，能判断命题的真假．　2．理解命题否定的意义，会对命题进行否定．　3．了解命题的构成形式，能将命题改写成“若p，则q”的形式． 一、命题的概念及分类 1．命题的概念 可以判断为可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的陈述句叫作命题． 2．分类 命题 理解1　命题的概念 ►【例1】　判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a与b是无理数，则ab是无理数． 【解】　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． (4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 1．一般来说，陈述句才有可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． 2．看该语句表述的结构是否可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． 3．对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 1．下列语句中，是命题的为 ． (1)红豆生南国； (2)作射线AB； (3)中国领土不可侵犯！ (4)当x≤1时，x2－3x＋2≤0． 解析：(2)和(3)都不是陈述句，根据命题的定义可知(1)(4)是命题． 答案：(1)(4) 理解2　命题真假的判断 ►【例2】　给定下列命题： (1)命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题； (2)若x∈R，x2＋4x＋4≥0．其中为真命题的是 ． 【解析】　对于(1)，若a＝1＋，b＝1－，则a＋b＝2不是无理数，因此(1)是假命题；因为对于任意x∈R，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，故(2)为真命题． 【答案】　(2) 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．要判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 2．判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)x∈R，x2＋2x＋1≥0； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢苹果； (5)若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数； (6)60x＋9>4． 解：(1)是祈使句，不是命题． (2)x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，可以判断真假，是命题，且是真命题． (3)是疑问句，不涉及真假，不是命题． (4)是命题，真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果． (5)是命题，假命题，如：＋(－)和×(－)都是有理数，但和－都是无理数． (6)不是命题，一般地，这种含有未知数的语句，在没有给定变量的值之前，是无法确定其真假的． 二、命题的否定 如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p，读作“非p”，显然，p也是¬p的否定，在p和¬p两者之中，一定有一个为真，有一个为假． 理解3　命题的否定 ►【例3】　写出下列命题的否定¬p： (1)p：4是16的因数； (2)p：全等三角形一定相似； (3)p：方程x2＋x－m＝0有实根． 【解】　(1)¬p：4不是16的因数． (2)¬p：全等三角形不一定相似． (3)方程x2＋x－m＝0没有实根． 命题p和¬p的真假相反，若p的真假不易判断，可通过判断¬p的真假来判断p的真假． 3．写出下列命题的否定¬p: (1)各位数字之和为3的倍数的整数，能被3整除； (2)方程x2－x＋1＝0没有两个实数根． 解：(1)¬p：各位数字之和为3的倍数的整数，不能被3整除． (2)¬p：方程x2－x＋1＝0有两个实数根． 三、命题的结构形式 1．命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 2．确定命题的条件和结论时，常把命题写成“若p,则q”的形式． 理解4　命题的结构形式 ►【例4】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)末位数是0或5的整数，能被5整除； (2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根． 【解】　(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除． (2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根． 将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则 4．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；