1.1 集合-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．1　集合 1．1．1　集合 [素养目标]　1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合间的“属于”关系，发展数学抽象素养．　2.通过集合的实例，培养学生用数学眼光观察世界、用数学的语言表达世界的直观想象、数学建模的学科素养．　3.能通过自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用，培养逻辑推理素养． 一、集合与元素 1．集合与元素的含义 集合 在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集 元素 集合中的研究对象的每一个，都叫作这个集合的一个元素 2．常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 理解1　集合的构成 ►【例1】　(1)下列所给的对象能构成集合的是 (填序号)． ①所有的正三角形； ②高中《数学必修第一册》课本上的所有难题； ③接近的所有实数； ④某校高一年级16岁以下的学生； ⑤中国四大名著． 【解析】　①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②③不能构成集合，因为“难题”“接近的实数”的标准不明确，所以组成集合的元素不确定，故不能构成集合；④能构成集合，其中的元素是“该校高一年级16岁以下的学生”；⑤能构成集合，其中的元素是“《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》”． 【答案】　①④⑤ (2)下列各组对象不能组成集合的是 ． ①2023年评选出的“感动中国2022年度人物”； ②电影《你好，李焕英》中的著名演员； ③中国第六批全国学雷锋活动示范点和岗位学雷锋标兵； ④北斗三号全球组网卫星． 【解析】　②中的“著名”没有确定的属性，不能构成集合，其余①③④可构成集合． 【答案】　② 判断一组对象能否构成集合的依据 一般地，确认一组对象a1，a2，…，an能否构成集合的过程： 1．下列说法 ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． 其中正确的是(　　) A．①②　 B．②③　　 C．③④　 D．②④ 解析：选D　①与③标准不明确，不满足确定性，不能构成集合．②与④中的对象都是确定的，而且都是不同的，能构成集合． 2．下列所给的对象能构成集合的是 ． (1)我国的小城市； (2)参加北京2022冬奥会的所有漂亮运动员； (3)不超过20的非负数； (4)方程x2－16＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点． 解析：(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合． (2)与(1)类似，也不能构成集合． (3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合． (4)类似于(3)，也能构成集合． (5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．故填(3)(4)． 答案：(3)(4) 二、元素与集合的关系，元素的特性 1．元素的三个特性 特性 含义 示例 互异性 同一集合中的元素是互不相同的 集合{x，x2}中的x应满足x≠x2，即x≠0且x≠1 确定性 集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的 集合A＝{1，3，5}，可知，1在集合A内，4不在集合A内 无序性 集合中的元素没有顺序 集合{1，2，3}和{2，3，1}是同一个集合 2．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 元素 与集 合的 关系 属于 如果a是集合S中的元素，就说a属于集合S a∈S a属于 集合S 不属于 如果a不是集合S中的元素，就说a不属于集合S a∉S或 aS a不属于 集合S 3．集合的分类 (1)有限集：元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集)． (2)无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)． (3)空集：没有元素的集合叫空集，记作∅；空集也是有限集． 理解2　元素与集合的关系 ►【例2】　用符号“∈”和“∉”填空： (1)设集合A是正整数的集合，则0 A， A； (2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2 B，1＋ B． 【解析】　(1)正整数是不包含0的自然数，如1，2，3，…，显然0和都不属于A． (2)因为2＝>，所以2不属于B； 因为1＋<，所以1＋属于B． 【答案】　(1)∉　∉　(2)∉　∈ 理解3　元素