第5章 概 率 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 一、古典概型中有关抽取问题 有关古典概型的抽取问题有三种题型：依次不放回抽取、依次放回抽取与同时抽取．下面就这三种题型进行举例说明． ►【典例1】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________． [解析]　每次取一件，取后不放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，其中每个小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个样本点组成，而且可以确定这些样本点的出现是等可能的． 用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}． 事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝. [答案]　 ►【典例2】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________． [解析]　有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间为Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，它由9个样本点组成．由于每件产品被取到的机会均等．因此可以确定这些样本点的出现是等可能的． 用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}． 事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝. [答案]　 ►【典例3】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中一次任取两件，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________． [解析]　从三件产品中任取两件，因为一次性抽取两件产品的事件中所抽取的这两件产品没有先后顺序，故所有可能的结果构成的样本空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)}，共有3个样本点． 记“取出的两件产品中恰有一件次品”为事件C，则C＝{(a1，b)，(a2，b)}，共包含两个样本点，所以P(C)＝. [答案]　 二、在游戏中警示生活 经验和直觉是学习的基础，但在某些情况下，如果不利用所学知识进行深层次的分析和计算，所得的结论可能是错误的．比如下题的游戏，很可能认为只要运气好，就能赢． ►【典例4】　有一天，小明去公园玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图是一个转盘，游戏者先免费转一下，转盘停止后，找到指针所指的数记为x，然后从这一格的下一格开始计数，顺时针数x个格子停止，按照停止的格子上的提示得到或付出相应的钱数．请从数学的角度来分析该游戏公平吗？ [解]　假设指针所指的数为3，则按规则可得到3元(顺时针数3个格，最后停在12的位置上)，同理，指针所指的数为5，7，11，13，15中的一个时，同样可得3元．但指针所指的数为除3，5，7，11，13，15之外的数时，都要罚3元．例如，若指针所指的数为10，按规则从这一格的下一格开始数，顺时针数10个位置到位置16，则要罚3元．由题意得，所有可能的情况有16种，得到钱的情况有6种，付出钱的情况有10种． 设得到钱的概率为P1，付出钱的概率为P2，则P1＝＝，P2＝＝. 因为P1<P2，所以该游戏对玩家不公平． 三、观察、体验生活 在现实生活中，决策取向，取决于决策人当时所处的环境，要根据以往的实际情况和现实情况，利用概率决策的方法，观察风险，分析风险，从而进行决策． ►【典例5】　甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下： 甲　82　82　79　95　87 乙　95　75　80　90　85 (1)求这两组数据的60%分位数； (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率． [解]　(1)甲组数据从小到大排列为79，82，82，87，95.乙组数据从小到大排列为75，80，85，90，95，因为60%×5＝3，所以甲组数据的60%分位数为＝84.5，所以乙组数据的60%分位数为＝87.5. (2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示样本点，则有 (82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)， (82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)， (79，95)，(79，75)，(79，80)，(79，90)，(79，85)， (95，95)，(95，75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)， (87，95)，(87，75)，(87，80)，(87，90)，(87，85)，