5.4 随机事件的独立性-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．4　随机事件的独立性 [素养目标]　1.借助具体事例，了解两个事件相互独立的概念，体会数学抽象的素养．　2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养．　3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些复杂的概率问题，训练逻辑推理能力及数学运算能力． 一、事件A、B相互独立的定义 1．在概率论中，设A、B为两个事件，若P(A∩B)＝P(A)·P(B)，则称事件A、B相互独立，简称为独立． 2．必然事件Ω及不可能事件∅都与任何事件独立． 3．事件A与B相互独立就是事件A发生与否不影响事件B发生的概率，事件B发生与否不影响事件A发生的概率． 理解1　相互独立事件的判断 ►【典例1】　判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． (2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． (3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件． 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件． 1．(多选题)一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则(　　) A．E与F不是互斥事件 B．F与G是对立事件 C．E与F是独立事件 D．F与G是独立事件 解析：选ABC．对于A：因为E∩F＝{1}，所以E与F不是互斥事件，A正确； 对于B：由F∩G＝∅，即F与G是互斥，又F∪G＝Ω，即F与G是对立事件，B正确； 对于C：∵P(EF)＝，P(E)＝，P(F)＝， ∴P(EF)＝P(E)·P(F)，故C正确； 对于D：∵F与G是对立事件，∴F与G不是独立事件，故D错误．故选ABC． 二、相互独立事件P(A∩B)的概率公式 (1)若事件A、B独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)． (2)若事件A、B独立，则A与，与B，与也独立． 理解2　相互独立事件的概率求法 ►【典例2】　据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6.购买两种保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率． (2)求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率． [解]　记A表示事件“购买车损险”，B表示事件“购买第三者人身安全险”，则由题意，得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记C表示事件“同时购买两种保险”，则C＝AB，所以 P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 在求由几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率加法公式求概率．审题时应注意关键词语，如“至少有一个”“至多有一个”“恰有一个”等．在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和)或考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决． 2．(多选题)(2021·福建三明一中高二期中)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.9，则(　　) A．两人都中靶的概率为0.72 B．恰好有一人中靶的概率为0.26 C．两人不都中靶的概率为0.02 D．至少有一人中靶的概率为0.28 解析：选AB．记A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，＝“甲不中靶”，＝“乙不中靶”，则A与B、A与、与B、与独立． 因为P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，所以P()＝1－0.8＝0.2，P