5.3 用频率估计概率-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．3　用频率估计概率 [素养目标]　1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．通过频率与概率的学习，培养数学抽象的核心素养．　2.理解概率的意义以及频率与概率的关系，能借助频率来估计概率，解题过程中提升数学运算的核心素养． 概率的估计 1．事件A发生的频率 设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件．在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称Fn(A)＝，是n次独立重复试验中事件A发生的频率． 2．一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大；反之，如果Fn(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大． 3．在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计． 理解1　用频率估计概率 ►【典例1】　某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下： 贫困地区： 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 发达地区： 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 (1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)； (2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率． [解]　(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50； 发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55. (2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.50， 发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.55. 先利用频率公式依次计算频率，然后分析频率的稳定值估计概率． 1．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 解：(1)根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 (2)由(1)中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9.故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 理解2　由概率求参数问题 ►【典例2】　从一群参加新年晚会的小孩中随机抽出k人，一人发一个礼物，让他们返回继续参加晚会，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾发过礼物，估计参加新年晚会的小孩的人数为(　　) A．　　　　　　　 B．k＋m－n C． D．k＋n－m [解析]　设总人数为a，则＝，a＝.故选C． [答案]　C 为了估计某一个总体中元素的个数N，我们可以运用以下方法：先从总体中抽出一个容量为n1的样本，并把每一个元素做上标记，然后把这n1个元素放回去．隔一段时间后，我们再从总体中抽出一个容量为n2的样本，并从中查出做过标记的元素的个数，假设为m.根据上面的有关数据我们就可以来估计总体中元素的个数N＝.此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力．解题的关键是假定每个个体被抽取的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率或由此列出方程，求出较难得到的数据． 2．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　) A．153石 B．154石 C．169石 D．170石 解析：选C．设这批米内夹谷约为x石，根据题意可得＝. 解得x＝≈169.故选C． 理解3　随机模拟问题 ►【典例3】　在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4