5.2 概率及运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．2　概率及运算 5．2.1　古典概型 [素养目标]　1.理解古典概型定义，会判断一个模型是否为古典概型．通过古典概型及其特征的学习，培养数学抽象及数学建模的核心素养．　2.学会使用古典概型的概率计算公式，结合列举法，求古典概型的概率．通过古典概型概率的求解，培养数学运算的核心素养． 一、古典概型 1．随机事件A的概率 我们把随机事件A发生的可能性的大小叫作随机事件A的概率，记作P(A)．它是事件本身固有的属性． 2．设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称 P(A)＝为事件A发生的概率，简称为A的概率． 我们把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． 3．古典概型的特点 (1)样本空间中只有有限个样本点； (2)每个样本点出现的可能性相等． 理解1　古典概型的判定 ►【典例1】　判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？ ①从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率； ②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率； ③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率． [解]　根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个， 因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上” “反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题． 只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型． 1．(多选题)下列试验是古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 解析：选BD．A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性； B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的； C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性； D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限， 甲、乙、丙被选中的概率是等可能的．故选BD． 二、古典概型的概率计算公式 对于古典概型，事件A的概率计算公式为 P(A)＝ 理解2　古典概型的概率 ►【典例2】　某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工． (1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名参加比赛，求选出的2名职工性别相同的概率； (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名参加比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率． [解]　记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2. (1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种． 其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种． 故选出的2名职工性别相同的概率为＝. (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种． 其中选出的2名职工来自同一工厂的有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9种． 故选出的2名职工来自同一工厂的概率为＝. 古典概型问题的求解流程 2．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表： 接种地点 疫苗种类 医院 A 新冠病毒灭活疫苗 B 重组新冠病毒疫苗 (CHO细胞) 社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗 D 重组新冠病毒疫苗 (CHO细胞) 若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种