3.2 复数的四则运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．2　复数的四则运算 [素养目标]　1.掌握复数加、减、乘、除运算及运算规律．　2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律以及指数幂运算律．　3.培养逻辑推理、数学运算的核心素养． 一、复数的加减法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和是(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． 它们的差是(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 二、复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则有： 交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 三、复数的乘法与乘方 1．复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法 的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 3.复数的乘方 在复数集中，实数集中的正整数指数幂运算律仍然成立，即对任何复数z，z1，z2及正整数m，n有 (1)zm·zn＝zm＋n； (2)(zm)n＝zmn； (3)(z1·z2)n＝z·z(其中m，n∈Z)． 特别地，(1)规定i0＝1； (2)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，其中n∈Z. 四、复数的除法 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 理解1　复数的加减运算 ►【典例1】　(1)(7－2i)＋(3i＋1)－(2－3i)＝__________． [解析]　原式＝(7＋1－2)＋[－2＋3－(－3)]i＝6＋4i. [答案]　6＋4i (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. [解]　z＝5－2i－1＋3i ＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. (3)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________． [解析]　z1＋z2＝a2－3－i－2a＋a2i＝(a2－3－2a)＋(a2－1)i为纯虚数， ∴，∴a＝3. [答案]　3 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． 1．计算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. 理解2　复数的乘法运算 ►【典例2】　(1)(1－i)4＝(　　) A．－4　　 B．4　　　 C．－4i　　 D．4i [解析]　(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4，故选A． [答案]　A (2)已知复数(a＋3i)(1＋2i)是纯虚数，则实数a的值为________． [解析]　∵(a＋3i)(1＋2i)＝a＋2ai＋3i－6 ＝a－6＋(3＋2a)i是纯虚数， ∴ ∴a＝6. [答案]　6 (3)(1－i)(1＋i)． [解]　原式＝(1－i)(1＋i) ＝(1－i2) ＝2 ＝－1＋i. 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i. 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i2021(1＋i)2　　　 B．i2022(1－i) C．i2024(1＋i)2 D．i2019(1＋i) 解析：选C．A项，i2021(1＋i)2＝i4×505＋1×2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2022(1－i)＝i4×505＋2×(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，i2024(1＋i)2＝i4×506×(1＋i)2＝2i，是纯虚数；D项，i2019(1＋i)＝i4×504＋3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，不是纯虚数，故选C． 3．复数z＝(1