3.1 复数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．1　复数的概念 [素养目标]　1.通过方程的解，认识复数，了解数集的扩充过程．　2.理解复数的代数形式及分类，认清各数集的包含关系，理解复数相等的含义．　3.通过数的发展培养学生数学抽象与数学运算的学科素养． 一、新数i的引入与性质 1．为了解决实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＜0时在实数范围内无解的问题，我们引入一个符号i表示－1的平方根，满足条件i2＝－1． 2．数i和实数之间满足与实数运算类似的运算律，bi就是实数b与i的乘积，a＋bi就是a与bi的和． 二、复数的概念 1．我们把形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位． 2．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式称为复数的代数形式，用C表示全体复数组成的集合(称为复数集)，于是C＝{a＋bi|a，b∈R}． 3．复数的分类 (1)复数a＋bi (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示． 4．复数相等 (1)若两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． (2)特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0． 理解1　复数的概念 ►【典例1】　(1)以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i　　　　　 B．3＋i C．－＋i D．＋i [解析]　3i－的虚部为3，3i2＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i. [答案]　A (2)给出下列几个命题： ①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i； ③2i的实部是0；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集的元素一一对应；⑤实数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确． 2i－1的虚部应是2，故②不正确． 当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确， 所以只有③，⑤正确． [答案]　C 利用复数的概念时的注意点 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 1．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 解析：选C．对于A，当a＝0且b＝0时，a＋bi＝0为实数； 对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C． 2．(多选题)下列命题中错误的是(　　) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D．实数集是复数集的真子集 解析：选ABC．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；两个虚数不能比较大小，则B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误；显然，D正确．故选ABC． 理解2　复数的分类 ►【典例2】　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？ [解]　(1)当即m＝2时，复数z是实数． (2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． (3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数． 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3．当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i， ∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数． (2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数． (3)当m满足 即m＝0时，z为纯虚