2.1 两角和与差的三角函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．1　两角和与差的三角函数 2．1.1　两角和与差的余弦公式 [素养目标]　1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．　2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值，计算．　3.培养数学运算、逻辑推理的核心素养． 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 公式结构 两角差 的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝ cos_αcos_β＋ sin_αsin_β　 α，β∈R 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 两角和 的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ cos_αcos_β－ sin_αsin_β　 α，β∈R 理解1　给角求值 ►【典例1】　(1)cos的值为(　　) A．　　　 B． C． D．－ [解析]　cos＝cosπ＝cos ＝－cos＝－cos ＝－coscos－sinsin ＝－×－×＝－. [答案]　D (2)求下列各式的值． ①sin 220°sin(－160°)＋cos 200°cos(－320°)； ②cos(α－35°)·cos(95°－α)－sin(α－35°)·sin(95°－α)． [解]　①原式＝sin 40°sin 20°－cos 40°cos 20° ＝－cos(40°＋20°)＝－cos 60°＝－. ②原式＝cos[(α－35°)＋(95°－α)]＝cos 60°＝. 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 1．cos 75°的值是(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析：选C．cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝. 2．cos(45°－α)cos α－sin(45°－α)sin α＝______． 解析：原式＝cos[(45°－α)＋α]＝cos 45°＝. 答案： 理解2　给值(式)求值问题 角度1　逆用公式 ►【典例2】　(1)sin 60°＋cos 60°＝________． [解析]　原式＝cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60° ＝cos 30°＝. [答案]　 (2)已知sin＝，则cos α＋sin α的值为(　　) A．－ B． C．2 D．－1 [解析]　cos α＋sin α＝2 ＝2 ＝2cos＝2cos ＝2sin＝2×＝.故选B． [答案]　B 角度2　拼凑角求值 ►【典例3】　(1)已知sin＝，α∈，求cos α的值． [解]　∵α∈， ∴α＋∈， ∴cos＜0. 又sin＝， ∴cos＝－＝－， cos α＝cos＝coscos＋ sinsin ＝－×＋×＝. (2)已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值． [解]　∵α，β∈，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝， 所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝， 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝×＋×＝. 给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β；②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． 3．将本例(1)的条件改为“sin＝，且<α<”，求cos α的值． 解：因为sin＝，且<α<， 所以<α＋<π， 所以cos＝－＝－， 所以cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 4．将本例(1)的条件改为“sin＝－，α∈”，求cos的值． 解：因为<α<，所以－<－α<. 又因为sin＝－<0， 所以－<－α<0， 所以cos＝ ＝. 所以cos＝cos ＝cos ＝cos＋sin ＝×＋× ＝－. 理解3　给值求角问题 ►【典例4】　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． [解]　由条件可得sin α＝，sin β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝， 又α－β∈，∴α－β＝±， ∵cos α＞cos β，α，β均为锐角， ∴α＜β，则α－β＝－. 给值求角问题的解题策略 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；