1.5 向量的数量积-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．5　向量的数量积 1．5.1　数量积的定义及计算 [素养目标]　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．　3.能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律．　4.通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养． 一、向量的数量积 数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． 理解1　求向量的数量积 角度1　用定义求数量积 ►【典例1】　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． [解]　(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30° ＝4×5×＝10. 角度2　几何图形中向量数量积的计算 ►【典例2】　在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝_______． [解析]　如图，∵AD∥BC，且∠DAB＝30°， ∴∠ABE＝30°. ∵EA＝EB，∴∠EAB＝30°.∠AEB＝120°. 在△AEB中，EA＝EB＝2， ·＝(＋)·(＋) ＝－＋·＋·＋· ＝－12＋2×2·cos 30°＋5×2·cos 30°＋5×2·cos 180°＝－22＋6＋15＝－1. [答案]　－1 1．求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 2．解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． 3．向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，与，与，与的夹角不是角C，角A，角B，而是它们的补角． 1．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为135°，则a·b＝________． 解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2× cos 135°＝－2. 答案：－2 2.如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝________． 解析：·＝||·||cos(180°－∠BAO)＝－||2，同理，·＝－||2，·＝－||2， ∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－. 答案：－ 二、投影与投影向量 1．投影向量：设a，b是两个非零向量，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，称为在方向上的投影向量，投影向量的长度称为投影长， 即||＝|||cos_α|＝． 2．投影：||cos_α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影． 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos_α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos_α的乘积． 理解2　投影向量 ►【典例3】　如图，等腰梯形ABCD中腰AD＝6，DC＝3，AB＝9，设的单位向量为e，求在e，在e上的投影向量． [解]　设∠DAB＝∠CBA＝θ，作DE⊥AB于E点(图略)，则AE＝3. ∴cos θ＝＝＝. ∴在e上的投影向量为||ecos θ＝6×e＝3e， 在e上的投影向量为 ||ecos(π－θ)＝－3e. a在b上的投影向量的作法 首先平移向量a或b使之共起点O，从a的终点向b上作垂线，垂足为M，则为a在b上的投影向量，当a与b的夹角为锐角时，与b同向，夹角为钝角时，与b反向，夹角为直角时，＝0. 3．设i、j分别为单位向量，其夹角为θ，当θ分别为30°，90°，135°时，求i在j上的投影向量． 解：∵|i|＝1，|j|＝1， ∴i在j上的投影向量为|i|·jcos θ. ∴当θ＝30°时，投影向量为 j. 当θ＝90°时，投影向量为0. 当θ＝135°时，投影向量为－j. 三、数量积的性质及运算律 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ . (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 此外，由|cos θ|≤1还可以得到 (4)|a·