1.3 向量的数乘-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．3　向量的数乘 [素养目标]　1.了解向量数乘的概念，并理解数乘运算的几何意义．　2.理解向量共线的概念，掌握向量共线的充要条件，会判断或证明两个向量共线．　3.理解并掌握向量的数乘运算律，会进行向量的数乘运算．　4.培养数学抽象、数学运算和逻辑推理素养． 一、.向量的数乘运算 1．定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作：λa，称为a的λ倍，这种求向量实数倍的运算称为向量的数乘，它的长度|λa|＝|λ||a|. (1)当λ≠0且a≠0时，λa的方向 (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0． 2．数乘运算律 一般地，设x，y为任意实数，a，b为任意向量，则有 (1)(x＋y)a＝xa＋ya； (2)x(ya)＝(xy)a； (3)x(a＋b)＝xa＋xb． 3．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 理解1　向量的线性运算 ►【典例1】　(1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [解]　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c ＝－a－c. ③原式＝ ＝ ＝a－b. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j＝－i－5j. 向量的线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0. 答案：0 2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x. 解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0， 所以x－a＋b－c＝0， 所以x＝a－b＋c， 所以x＝a－b＋c. 理解2　用已知向量表示其他向量 ►【典例2】　(1)如图，已知ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． ①＝________； ②＝________． [解析]　因为∥，||＝2||， 所以＝2，＝. ①＝＋＝e2＋e1. ②＝＋＋＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. [答案]　①e2＋e1　②e1－e2 (2)已知在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. [解]　∵＝＋＝＋， ∴e2＝＋，　① 又∵＝＋＝＋， ∴e1＝＋，　② 由①②得＝e2－e1， ∴是△AMN中BC边上的中线， ∴＝＋＝e1＋e2. 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用． 3．在本例(1)中，将条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量. 解：因为＝＋＋， ＝＋＋， 所以2＝(＋)＋＋＋(＋)． 又因为M，N分别是DC，AB的中点， 所以＋＝0，＋＝0. 所以2＝＋， 所以＝(－－)＝－e2－e1. 4．如果本例(2)条件不变，用e1、e2表示. 解：由例(2)解答可得＝e1－ ＝e1－× ＝e1－e2＋e1＝e1－e2， ∴＝－＝－ ＝2e2－2e1. 二、共线向量及其运算 1．共线的定义 一般地，如果两个非零向量a，b方向相同或相反，我们既称a，b共线，也称a，b平行，用符号“∥”表示，记作a∥b.并规定零向量与所有向量平行． 2．向量共线的充要条件 两个向量平行的充要条件是：其中一个向量是另一个向量的实数倍． 即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb． 3．单位向量 长度为1的向量称为单位向量，它的长度为单位长度．任一非零向量a与它方向相同的唯一单位向量为． 三、两个向量的夹角与垂直 定义 设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB＝θ称为向量a，b的夹角． 记法 〈a，b〉 范围 [0，π] 特殊 情况 θ＝0 a与b方向相同 θ＝π a与