1.2 向量的加法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．2　向量的加法 第1课时　向量的加法运算 [素养目标]　1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．　2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养． 一、向量的加法 1．向量加法的定义 求向量和的运算称为向量的加法． 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，分别作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则． 平行四边形法则 从同一点O出发作有向线段＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即＝a＋b. 理解1　向量加法及其几何意义 ►【典例1】　如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. [解]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图1. 图1 (2)法一：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图2. 图2 法二：在平面内任取一点O.作＝a，＝b，以、为邻边作平行四边形OBCA，则＝a＋b，如图3. 图3 1．应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． 2．应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点； (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形； (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 1．如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c. 解：法一(三角形法则)：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图2所示，首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 二、加法运算律 1．加法交换律：a＋b＝b＋a对任意两个向量a，b成立． 2．加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)对任意三个向量a，b，c成立． 3．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 三、零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身， 即a＋0＝0＋a＝a． 理解2　向量加法运算律的应用 ►【典例2】　给出下列等式： ①＋＝0；②＝＋＋；③＋＋＋＝0；④＋＋＋＝0. 其中成立的个数为(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　 D．4 [解析]　由向量加法的三角形法则可知①正确； ＋＋＝＋＝＋＝，②正确； ＋＋＋＝＋＋＝，③错误； ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，④正确．故选C． [答案]　C 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 2．化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. 解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ ＝＋＋＝＋＝0. 理解3　向量加法的实际应用 ►【典例3】　在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． [解]　如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从 B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋800＝1600 (km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以||＝ ＝ ＝800(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量长度、方向、相等等概念回答原问题． 3．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度． 解：如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对