1.5 向量的数量积(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

* 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 1．5　向量的数量积 1．5.1　数量积的定义及计算 [素养目标]　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．　3.能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律．　4.通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养． * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 一、向量的数量积 数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝_______________为a与b的数量积． |a||b|cos〈a，b〉 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理解1　求向量的数量积 角度1　用定义求数量积 ►【典例1】　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． [解]　(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. 理解 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 [解析]　如图，∵AD∥BC，且∠DAB＝30°， * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 [答案]　－1 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 1．求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 2．解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． 思维 升华 · * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 答案：－2 应用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 |b|cos α |a|cos α * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理解 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 思维 升华 · * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 3．设i、j分别为单位向量，其夹角为θ，当θ分别为30°，90°，135°时，求i在j上的投影向量． 应用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 |a|cos θ a·b＝0 －|a||b| |a||b| * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 2．数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理解 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 角度3　向量的垂直 ►【典例6】　已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于______． [解析]　∵(3a＋2b)⊥(λa－b)， ∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0， ∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b， ∴12λ＋(2λ－3)×2×3·cos 90°－18＝0， ∴12λ－18＝0， * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 角度4　根据向量夹角求参数 ►【典例7】　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________． [解析]　由题意得(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＞0， 即k|e1|2＋k|e2|2＋(k2＋1)e1·e2＞0，