第3章 复 数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课时作业（湘教版）

章末达标测试(三) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　) A．1－2i　　　　　 B．1＋2i C．1＋i D．1－i 解析：选C．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.结合已知条件，得4a＋6bi＝4＋6i.根据复数相等的条件可得，解得所以z＝1＋i.故选C． 2．已知i为虚数单位，复数z＝，为z的共轭复数，则||＝(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 解析：选B．化简复数z＝＝＝－＋i， 则＝－－i，根据复数模的定义， 则||＝ ＝.故选B． 3．若复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的值可以是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 解析：选B．∵复数z＝＝＝＋i，又复数z在复平面内对应的点位于第二象限， ∴得－1＜a＜1，∴实数a的值可以是0.故选B． 4．已知复数z满足(1－i)z＝i2020(其中i为虚数单位)则的虚部为(　　) A． B．－ C．i D．－i 解析：选B．∵2020＝4×505，∴i2020＝i4＝1. ∴z＝＝＋i， ∴＝－i， ∴的虚部为－，故选B． 5．如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 解析：选D．由题图得，＝＋，所以对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以点C对应的复数为－1＋3i. 6．已知i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝(　　) A．或 B．2或5 C． D．5 解析：选C．依题意，得z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，所以解得a＝－2， 所以|z|＝|－2＋i|＝＝. 7．满足＋＝2n的最小自然数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．因为(1＋i)2＝1＋2i＋i 2＝2i，(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i， 所以＋＝＋ ＝(2i)n ＝2n－1×in[1＋i＋(－1)n(1－i)]， n＝1时，原式＝i(1＋i－1＋i)＝－2，不满足题意； n＝2时，原式＝2i2(1＋i＋1－i)＝－4，不满足题意； n＝3时，原式＝22i3(1＋i－1＋i)＝23，满足题意． 故选C． 8．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，若z＝a＋bi，则复数z＝(　　) A．－2－2i B．2＋2i C．－2＋2i D．2－2i 解析：选D．因为x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，所以b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0.根据复数相等的充要条件，得b2＋4b＋4＝0且a＋b＝0，解得a＝2，b＝－2.故复数z＝2－2i，故选D． 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是(　　) A．该方程一定有一对共轭虚根 B．该方程可能有两个正实根 C．该方程两根的实部之和等于－2 D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1 解析：选ABD．方程x2＋2x－a＝0，a＜0，则Δ＝4＋4a，当Δ≥0，即a≥－1时，方程有实数根，所以A错误；由一元二次方程根与系数的关系可知，两个实数根的和为－2，所以不可能有两个正实根，所以B错误；当Δ＜0时，方程有两个虚数根，由求根公式可得x＝－1±i，所以两个根的实部之和等于－2，故C正确；若该方程有虚根，则虚根的模为 ＞1，所以D错误． 10．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　) A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥ 解析：选CD．满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋ ＝2＋8i， ∴解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD． 11．已知集合M＝{m|m＝i